cho nửa đường tròn (O;R) đường ính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax cùng với nửa đường tròn.Trên Ax lấy điểm P(AP>R). Vẽ tiếp tuyến PE, đường thẳng PE cắt AB tại F. a, chứng minh 4 điểm P,A,E,O thuộc 1 đường tròn...

a) Chứng minh 4 điểm P, A, E, O thuộc 1 đường tròn: - Ta có PA là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O; R) tại A nên $$. - OE là bán kính của nửa đường tròn (O; R) và OE vuông góc với PE tại E (vì PE là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E). - Do đó, $$. - Xét tứ giác PAEO, ta thấy $$. Vậy 4 điểm P, A, E, O thuộc 1 đường tròn. b) Chứng minh PO // BE: - Ta có $$ và $$, do đó $$ (góc nội tiếp chắn cung AE). - Xét tam giác OAE, ta thấy $$, do đó tam giác OAE cân tại O. - Vì tam giác OAE cân tại O nên OA = OE. - Xét tam giác OAP và tam giác OEP, ta thấy OA = OE, $$, và OP chung. Vậy tam giác OAP và tam giác OEP bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Do đó, $$. - Xét tam giác OPE, ta thấy $$ (góc nội tiếp chắn cung AE). - Vậy $$. - Xét tam giác OPA và tam giác OEA, ta thấy $$ và $$ (góc nội tiếp chắn cung AE). Vậy tam giác OPA và tam giác OEA đồng dạng (góc - góc). - Do đó, $$, tức là OP = OA. - Vì OP = OA và OA = OE, nên OP = OE. - Xét tam giác OPE, ta thấy OP = OE, do đó tam giác OPE cân tại O. - Vì tam giác OPE cân tại O nên $$. - Xét tam giác OEP, ta thấy $$ (góc nội tiếp chắn cung AE). - Vậy $$. - Xét tam giác OPE và tam giác OEA, ta thấy $$ và $$ (góc nội tiếp chắn cung AE). Vậy tam giác OPE và tam giác OEA đồng dạng (góc - góc). - Do đó, $$, tức là OP = EA. - Vì OP = EA và EA = BE (vì E là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến PE với nửa đường tròn), nên OP = BE. - Vậy PO // BE. c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OP cắt PE tại M. Chứng minh EM × PE = FE × MF: - Ta có OM vuông góc với OP, do đó $$. - Xét tam giác OMP, ta thấy $$, do đó tam giác OMP vuông tại M. - Xét tam giác OME, ta thấy $$, do đó tam giác OME vuông tại M. - Xét tam giác OMP và tam giác OME, ta thấy OM chung, $$, và OP = OE (chứng minh ở phần b). Vậy tam giác OMP và tam giác OME bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Do đó, MP = ME. - Xét tam giác EMP, ta thấy MP = ME, do đó tam giác EMP cân tại M. - Vì tam giác EMP cân tại M nên $$. - Xét tam giác EMP và tam giác MPE, ta thấy $$ và $$ (góc nội tiếp chắn cung EP). Vậy tam giác EMP và tam giác MPE đồng dạng (góc - góc). - Do đó, $$, tức là EM × MF = PE × MP. - Vì MP = ME (chứng minh ở trên), nên EM × MF = PE × ME. - Vậy EM × PE = FE × MF. Đáp số: a) 4 điểm P, A, E, O thuộc 1 đường tròn. b) PO // BE. c) EM × PE = FE × MF.