cho nửa đường tròn (O;R) đường ính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax cùng với nửa đường tròn.Trên Ax lấy điểm P(AP>R). Vẽ tiếp tuyến PE, đường thẳng PE cắt AB tại F. a, chứng minh 4 điểm P,A,E,O thuộc 1 đường tròn...

a) Chứng minh 4 điểm P, A, E, O thuộc 1 đường tròn: - Ta có PA là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O; R) tại A nên $\angle OAP = 90^\circ$. - OE là bán kính của nửa đường tròn (O; R) và OE vuông góc với PE tại E (vì PE là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E). - Do đó, $\angle OEP = 90^\circ$. - Xét tứ giác PAEO, ta thấy $\angle OAP + \angle OEP = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Vậy 4 điểm P, A, E, O thuộc 1 đường tròn. b) Chứng minh PO // BE: - Ta có $\angle OAP = 90^\circ$ và $\angle OEP = 90^\circ$, do đó $\angle OAE = \angle OEA$ (góc nội tiếp chắn cung AE). - Xét tam giác OAE, ta thấy $\angle OAE = \angle OEA$, do đó tam giác OAE cân tại O. - Vì tam giác OAE cân tại O nên OA = OE. - Xét tam giác OAP và tam giác OEP, ta thấy OA = OE, $\angle OAP = \angle OEP = 90^\circ$, và OP chung. Vậy tam giác OAP và tam giác OEP bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Do đó, $\angle OPA = \angle OPE$. - Xét tam giác OPE, ta thấy $\angle OPE = \angle OEA$ (góc nội tiếp chắn cung AE). - Vậy $\angle OPA = \angle OEA$. - Xét tam giác OPA và tam giác OEA, ta thấy $\angle OPA = \angle OEA$ và $\angle OAP = \angle OEA$ (góc nội tiếp chắn cung AE). Vậy tam giác OPA và tam giác OEA đồng dạng (góc - góc). - Do đó, $\frac{OP}{OE} = \frac{OA}{OE}$, tức là OP = OA. - Vì OP = OA và OA = OE, nên OP = OE. - Xét tam giác OPE, ta thấy OP = OE, do đó tam giác OPE cân tại O. - Vì tam giác OPE cân tại O nên $\angle OPE = \angle OEP$. - Xét tam giác OEP, ta thấy $\angle OEP = \angle OEA$ (góc nội tiếp chắn cung AE). - Vậy $\angle OPE = \angle OEA$. - Xét tam giác OPE và tam giác OEA, ta thấy $\angle OPE = \angle OEA$ và $\angle OEP = \angle OEA$ (góc nội tiếp chắn cung AE). Vậy tam giác OPE và tam giác OEA đồng dạng (góc - góc). - Do đó, $\frac{OP}{OE} = \frac{PE}{EA}$, tức là OP = EA. - Vì OP = EA và EA = BE (vì E là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến PE với nửa đường tròn), nên OP = BE. - Vậy PO // BE. c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OP cắt PE tại M. Chứng minh EM × PE = FE × MF: - Ta có OM vuông góc với OP, do đó $\angle OMP = 90^\circ$. - Xét tam giác OMP, ta thấy $\angle OMP = 90^\circ$, do đó tam giác OMP vuông tại M. - Xét tam giác OME, ta thấy $\angle OME = 90^\circ$, do đó tam giác OME vuông tại M. - Xét tam giác OMP và tam giác OME, ta thấy OM chung, $\angle OMP = \angle OME = 90^\circ$, và OP = OE (chứng minh ở phần b). Vậy tam giác OMP và tam giác OME bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Do đó, MP = ME. - Xét tam giác EMP, ta thấy MP = ME, do đó tam giác EMP cân tại M. - Vì tam giác EMP cân tại M nên $\angle EMP = \angle MPE$. - Xét tam giác EMP và tam giác MPE, ta thấy $\angle EMP = \angle MPE$ và $\angle MPE = \angle MEP$ (góc nội tiếp chắn cung EP). Vậy tam giác EMP và tam giác MPE đồng dạng (góc - góc). - Do đó, $\frac{EM}{MP} = \frac{PE}{MF}$, tức là EM × MF = PE × MP. - Vì MP = ME (chứng minh ở trên), nên EM × MF = PE × ME. - Vậy EM × PE = FE × MF. Đáp số: a) 4 điểm P, A, E, O thuộc 1 đường tròn. b) PO // BE. c) EM × PE = FE × MF.