làm bài tập trên

Bài 48 a) Rút gọn biểu thức \( A \) Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 1 \). Ta có: \[ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{3\sqrt{x} + 1}{x - 1} \] Rút gọn từng phân thức: \[ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{x - 1} \] \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x - 1} \] Do đó: \[ A = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{x - 1} + \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{3\sqrt{x} + 1}{x - 1} \] \[ A = \frac{(x + 2\sqrt{x} + 1) + (x - 2\sqrt{x} + 1) - (3\sqrt{x} + 1)}{x - 1} \] \[ A = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1 + x - 2\sqrt{x} + 1 - 3\sqrt{x} - 1}{x - 1} \] \[ A = \frac{2x - 3\sqrt{x} + 1}{x - 1} \] b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = 121 \) Thay \( x = 121 \): \[ A = \frac{2(121) - 3\sqrt{121} + 1}{121 - 1} \] \[ A = \frac{242 - 3 \cdot 11 + 1}{120} \] \[ A = \frac{242 - 33 + 1}{120} \] \[ A = \frac{210}{120} \] \[ A = \frac{7}{4} \] c) Tìm giá trị của \( x \) để \( A = \frac{1}{2} \) Ta có: \[ \frac{2x - 3\sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{1}{2} \] Nhân cả hai vế với \( 2(x - 1) \): \[ 2(2x - 3\sqrt{x} + 1) = x - 1 \] \[ 4x - 6\sqrt{x} + 2 = x - 1 \] \[ 4x - x - 6\sqrt{x} + 2 + 1 = 0 \] \[ 3x - 6\sqrt{x} + 3 = 0 \] \[ x - 2\sqrt{x} + 1 = 0 \] \[ (\sqrt{x} - 1)^2 = 0 \] \[ \sqrt{x} - 1 = 0 \] \[ \sqrt{x} = 1 \] \[ x = 1 \] Tuy nhiên, \( x = 1 \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq 1 \). Do đó, không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn \( A = \frac{1}{2} \). d) Tìm giá trị của \( x \) để \( A = \sqrt{x} - 1 \) Ta có: \[ \frac{2x - 3\sqrt{x} + 1}{x - 1} = \sqrt{x} - 1 \] Nhân cả hai vế với \( x - 1 \): \[ 2x - 3\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} - 1)(x - 1) \] \[ 2x - 3\sqrt{x} + 1 = x\sqrt{x} - \sqrt{x} - x + 1 \] \[ 2x - 3\sqrt{x} + 1 = x\sqrt{x} - \sqrt{x} - x + 1 \] \[ 2x - 3\sqrt{x} = x\sqrt{x} - \sqrt{x} - x \] \[ 2x - 3\sqrt{x} = x\sqrt{x} - \sqrt{x} - x \] \[ 2x - 3\sqrt{x} = x\sqrt{x} - \sqrt{x} - x \] \[ 2x - 3\sqrt{x} = x\sqrt{x} - \sqrt{x} - x \] \[ 2x - 3\sqrt{x} = x\sqrt{x} - \sqrt{x} - x \] Bài 19 a) Rút gọn biểu thức \( B \) Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Ta có: \[ B = \frac{x - 2}{x + 2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \] Rút gọn từng phân thức: \[ \frac{x - 2}{x + 2\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^2 - 2}{(\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} \] \[ \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} \] \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} \] Do đó: \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} + 2) + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{x - 1 - \sqrt{x} - 2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{x - 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} \] b) Tính giá trị của biểu thức \( B \) tại \( x = 3 - 2\sqrt{2} \) Thay \( x = 3 - 2\sqrt{2} \): \[ B = \frac{(3 - 2\sqrt{2}) - 3}{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} + 2)} \] \[ B = \frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} + 2)} \] c) Tìm giá trị của \( x \in \mathbb{N}^ \) để \( B \) có giá trị là số nguyên Ta có: \[ B = \frac{x - 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} \] Để \( B \) là số nguyên, \( x - 3 \) phải chia hết cho \( \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2) \). Kiểm tra các giá trị \( x \in \mathbb{N}^ \): - \( x = 1 \): \( B = \frac{1 - 3}{\sqrt{1}(\sqrt{1} + 2)} = \frac{-2}{3} \) (không là số nguyên) - \( x = 4 \): \( B = \frac{4 - 3}{\sqrt{4}(\sqrt{4} + 2)} = \frac{1}{4 \cdot 4} = \frac{1}{8} \) (không là số nguyên) - \( x = 9 \): \( B = \frac{9 - 3}{\sqrt{9}(\sqrt{9} + 2)} = \frac{6}{3 \cdot 5} = \frac{2}{5} \) (không là số nguyên) Do đó, không có giá trị \( x \in \mathbb{N}^ \) nào thỏa mãn \( B \) là số nguyên.