............

Bài tập 5: Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{x_1 - 1}{x_2 + 1} + \frac{x_2 - 1}{x_1 + 1} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình \( 2x^2 - 3x - 1 = 0 \): - Tổng của hai nghiệm: \( x_1 + x_2 = \frac{3}{2} \) - Tích của hai nghiệm: \( x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{2} \) Bước 2: Nhân tử chung ở mẫu số: \[ A = \frac{(x_1 - 1)(x_1 + 1) + (x_2 - 1)(x_2 + 1)}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức ở tử số: \[ (x_1 - 1)(x_1 + 1) = x_1^2 - 1 \] \[ (x_2 - 1)(x_2 + 1) = x_2^2 - 1 \] Do đó: \[ A = \frac{x_1^2 - 1 + x_2^2 - 1}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} = \frac{x_1^2 + x_2^2 - 2}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} \] Bước 4: Tính \( x_1^2 + x_2^2 \) bằng cách sử dụng công thức \( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 \): \[ \left( \frac{3}{2} \right)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2 \left( -\frac{1}{2} \right) \] \[ \frac{9}{4} = x_1^2 + x_2^2 - 1 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4} \] Bước 5: Thay \( x_1^2 + x_2^2 \) vào biểu thức: \[ A = \frac{\frac{13}{4} - 2}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} = \frac{\frac{13}{4} - \frac{8}{4}}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} = \frac{\frac{5}{4}}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)} \] Bước 6: Tính \( (x_2 + 1)(x_1 + 1) \): \[ (x_2 + 1)(x_1 + 1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 = 2 \] Bước 7: Thay vào biểu thức cuối cùng: \[ A = \frac{\frac{5}{4}}{2} = \frac{5}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{8} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ A = \frac{5}{8} \] Bài tập 6: Để nhẩm nghiệm của các phương trình bậc hai, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Dưới đây là các phương pháp cụ thể cho từng phương trình: a. \(2x^2 + 3x - 5 = 0\) Phân tích thành nhân tử: \[2x^2 + 3x - 5 = (2x - 2)(x + 2.5) = 0\] Từ đó ta có: \[2x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 2.5 = 0\] \[x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -2.5\] b. \(35x^2 - 37x + 2 = 0\) Phân tích thành nhân tử: \[35x^2 - 37x + 2 = (5x - 1)(7x - 2) = 0\] Từ đó ta có: \[5x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 7x - 2 = 0\] \[x = \frac{1}{5} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2}{7}\] c. \(2x^2 - x - 3 = 0\) Phân tích thành nhân tử: \[2x^2 - x - 3 = (2x - 3)(x + 1) = 0\] Từ đó ta có: \[2x - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0\] \[x = \frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = -1\] d. \(2x^2 - (2 + \sqrt{5})x + \sqrt{5} = 0\) Phân tích thành nhân tử: \[2x^2 - (2 + \sqrt{5})x + \sqrt{5} = (2x - \sqrt{5})(x - 1) = 0\] Từ đó ta có: \[2x - \sqrt{5} = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 1 = 0\] \[x = \frac{\sqrt{5}}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = 1\] e. \(b^2 - b - 2 = 0\) Phân tích thành nhân tử: \[b^2 - b - 2 = (b - 2)(b + 1) = 0\] Từ đó ta có: \[b - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad b + 1 = 0\] \[b = 2 \quad \text{hoặc} \quad b = -1\] f. \(4321y^2 - 21y - 4300 = 0\) Phân tích thành nhân tử: \[4321y^2 - 21y - 4300 = (4321y + 4300)(y - 1) = 0\] Từ đó ta có: \[4321y + 4300 = 0 \quad \text{hoặc} \quad y - 1 = 0\] \[y = -\frac{4300}{4321} \quad \text{hoặc} \quad y = 1\] g. \(2x^2 + (\sqrt{7} - 2)x - \sqrt{7} = 0\) Phân tích thành nhân tử: \[2x^2 + (\sqrt{7} - 2)x - \sqrt{7} = (2x + \sqrt{7})(x - 1) = 0\] Từ đó ta có: \[2x + \sqrt{7} = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 1 = 0\] \[x = -\frac{\sqrt{7}}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = 1\] h. \(7x^2 + 500x - 507 = 0\) Phân tích thành nhân tử: \[7x^2 + 500x - 507 = (7x - 1)(x + 507) = 0\] Từ đó ta có: \[7x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 507 = 0\] \[x = \frac{1}{7} \quad \text{hoặc} \quad x = -507\] Đáp số: a. \(x = 1\) hoặc \(x = -2.5\) b. \(x = \frac{1}{5}\) hoặc \(x = \frac{2}{7}\) c. \(x = \frac{3}{2}\) hoặc \(x = -1\) d. \(x = \frac{\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(x = 1\) e. \(b = 2\) hoặc \(b = -1\) f. \(y = -\frac{4300}{4321}\) hoặc \(y = 1\) g. \(x = -\frac{\sqrt{7}}{2}\) hoặc \(x = 1\) h. \(x = \frac{1}{7}\) hoặc \(x = -507\) Bài tập 7: a. \( x^2 + 2024x - 2025 = 0 \) Phương pháp: - Ta thử nghiệm các giá trị \( x \) để tìm nghiệm của phương trình. Lập luận: - Thử nghiệm \( x = 1 \): \[ 1^2 + 2024 \cdot 1 - 2025 = 1 + 2024 - 2025 = 0 \] Vậy \( x = 1 \) là nghiệm của phương trình. - Thử nghiệm \( x = -2025 \): \[ (-2025)^2 + 2024 \cdot (-2025) - 2025 = 2025^2 - 2024 \cdot 2025 - 2025 = 2025(2025 - 2024 - 1) = 2025 \cdot 0 = 0 \] Vậy \( x = -2025 \) cũng là nghiệm của phương trình. Kết luận: Nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) hoặc \( x = -2025 \). b. \( x^2 - 3x - 10 = 0 \) Phương pháp: - Ta thử nghiệm các giá trị \( x \) để tìm nghiệm của phương trình. Lập luận: - Thử nghiệm \( x = 5 \): \[ 5^2 - 3 \cdot 5 - 10 = 25 - 15 - 10 = 0 \] Vậy \( x = 5 \) là nghiệm của phương trình. - Thử nghiệm \( x = -2 \): \[ (-2)^2 - 3 \cdot (-2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0 \] Vậy \( x = -2 \) cũng là nghiệm của phương trình. Kết luận: Nghiệm của phương trình là \( x = 5 \) hoặc \( x = -2 \). c. \( (1 + \sqrt{3})x^2 + 2\sqrt{3}x + (\sqrt{3} - 1) = 0 \) Phương pháp: - Ta thử nghiệm các giá trị \( x \) để tìm nghiệm của phương trình. Lập luận: - Thử nghiệm \( x = -1 \): \[ (1 + \sqrt{3})(-1)^2 + 2\sqrt{3}(-1) + (\sqrt{3} - 1) = 1 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = 0 \] Vậy \( x = -1 \) là nghiệm của phương trình. - Thử nghiệm \( x = -\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \): \[ (1 + \sqrt{3})\left(-\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}\right)^2 + 2\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}\right) + (\sqrt{3} - 1) = 0 \] Vậy \( x = -\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \) cũng là nghiệm của phương trình. Kết luận: Nghiệm của phương trình là \( x = -1 \) hoặc \( x = -\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \). d. \( 4x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0 \) Phương pháp: - Ta thử nghiệm các giá trị \( x \) để tìm nghiệm của phương trình. Lập luận: - Thử nghiệm \( x = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 1 = 4 \cdot \frac{3}{4} - 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = 3 - 3 - 1 = 0 \] Vậy \( x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) là nghiệm của phương trình. - Thử nghiệm \( x = -\frac{1}{2} \): \[ 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2\sqrt{3}\left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = 4 \cdot \frac{1}{4} + 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 + \sqrt{3} - 1 = 0 \] Vậy \( x = -\frac{1}{2} \) cũng là nghiệm của phương trình. Kết luận: Nghiệm của phương trình là \( x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) hoặc \( x = -\frac{1}{2} \). Bài tập 8: a) \(3x^2 - 2\sqrt{3}x - 2 = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 3\), \(b = -2\sqrt{3}\), \(c = -2\): \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 24}}{6} \] \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{36}}{6} \] \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm 6}{6} \] \[ x = \frac{\sqrt{3} \pm 3}{3} \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{\sqrt{3} + 3}{3}, \quad x_2 = \frac{\sqrt{3} - 3}{3} \] b) \(x^2 - 7x - 2 = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = -2\): \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{2} \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{57}}{2}, \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{57}}{2} \] c) \(x^2 - 5x + 6 = 0\) Phương trình này có thể phân tích thành: \[ (x - 2)(x - 3) = 0 \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = 2, \quad x_2 = 3 \] d) \(3a^2 + 2a + 5 = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 5\): \[ a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3} \] \[ a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 60}}{6} \] \[ a = \frac{-2 \pm \sqrt{-56}}{6} \] Phương trình này không có nghiệm thực vì \( \sqrt{-56} \) là số phức. e) \(2x^2 + 5x - 3 = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = -3\): \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ x = \frac{-5 \pm 7}{4} \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-12}{4} = -3 \] f) \(2x^2 - 3x + 1 = 0\) Phương trình này có thể phân tích thành: \[ (2x - 1)(x - 1) = 0 \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 1 \] g) \(x^2 - 6x - 16 = 0\) Phương trình này có thể phân tích thành: \[ (x - 8)(x + 2) = 0 \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = 8, \quad x_2 = -2 \] h) \(x^2 - 24x - 70 = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -24\), \(c = -70\): \[ x = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 280}}{2} \] \[ x = \frac{24 \pm \sqrt{856}}{2} \] \[ x = \frac{24 \pm 2\sqrt{214}}{2} \] \[ x = 12 \pm \sqrt{214} \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = 12 + \sqrt{214}, \quad x_2 = 12 - \sqrt{214} \] i) \(x^2 - \sqrt{3}x - 2 - \sqrt{6} = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -\sqrt{3}\), \(c = -2 - \sqrt{6}\): \[ x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2 - \sqrt{6})}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 8 + 4\sqrt{6}}}{2} \] \[ x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{11 + 4\sqrt{6}}}{2} \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{11 + 4\sqrt{6}}}{2}, \quad x_2 = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{11 + 4\sqrt{6}}}{2} \] k) \(3x^2 + 5x + 61 = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 61\): \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 61}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 732}}{6} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{-707}}{6} \] Phương trình này không có nghiệm thực vì \( \sqrt{-707} \) là số phức. l) \(x^2 - 14x + 33 = 0\) Phương trình này có thể phân tích thành: \[ (x - 11)(x - 3) = 0 \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = 11, \quad x_2 = 3 \] m) \(x^2 - 14x + 30 = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -14\), \(c = 30\): \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2} \] \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2} \] \[ x = \frac{14 \pm 2\sqrt{19}}{2} \] \[ x = 7 \pm \sqrt{19} \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = 7 + \sqrt{19}, \quad x_2 = 7 - \sqrt{19} \] n) \(x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -(1 + \sqrt{2})\), \(c = \sqrt{2}\): \[ x = \frac{1 + \sqrt{2} \pm \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{2}}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 + \sqrt{2} \pm \sqrt{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 4\sqrt{2}}}{2} \] \[ x = \frac{1 + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{2} \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{2} \] o) \(x^2 - 10x + 21 = 0\) Phương trình này có thể phân tích thành: \[ (x - 7)(x - 3) = 0 \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = 7, \quad x_2 = 3 \] p) \(3x^2 - 19x - 22 = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 3\), \(b = -19\), \(c = -22\): \[ x = \frac{19 \pm \sqrt{(-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-22)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{19 \pm \sqrt{361 + 264}}{6} \] \[ x = \frac{19 \pm \sqrt{625}}{6} \] \[ x = \frac{19 \pm 25}{6} \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{44}{6} = \frac{22}{3}, \quad x_2 = \frac{-6}{6} = -1 \] q) \(x^2 - 12x + 27 = 0\) Phương trình này có thể phân tích thành: \[ (x - 9)(x - 3) = 0 \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = 9, \quad x_2 = 3 \] Bài tập 9: a. Ta có: $a+b=-3$ và $ab=-4$ Ta nhận thấy $(-4)+1=-3$ và $(-4)\times 1=-4$ Vậy hai số cần tìm là $-4$ và $1$. b. Ta có: $a+b=3$ và $ab=6$ Ta nhận thấy không có cặp số nào thoả mãn đồng thời hai điều kiện trên, do đó không có hai số nào thoả mãn yêu cầu của đề bài. c. Ta có: $a+b=9$ và $ab=20$ Ta nhận thấy $4+5=9$ và $4\times 5=20$ Vậy hai số cần tìm là $4$ và $5$. d. Ta có: $a+b=5$ và $ab=66$ Ta nhận thấy không có cặp số nào thoả mãn đồng thời hai điều kiện trên, do đó không có hai số nào thoả mãn yêu cầu của đề bài.