cho f(x)=(ax^2-(a-2)x-2)/(sqrt(x+3) -2) khi x khác 1 và f(x) =8+a^2 khi x=1. có bao nhiêu giá trị a để hàm số liên tục tại x=1

Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 1 \), ta cần đảm bảo rằng: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \to 1 \): \[ f(x) = \frac{ax^2 - (a-2)x - 2}{\sqrt{x+3} - 2} \] Ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu: \[ f(x) = \frac{(ax^2 - (a-2)x - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)} \] \[ f(x) = \frac{(ax^2 - (a-2)x - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{x+3 - 4} \] \[ f(x) = \frac{(ax^2 - (a-2)x - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{x - 1} \] Bây giờ, ta cần tìm giới hạn của biểu thức này khi \( x \to 1 \). Ta sẽ thay \( x = 1 \) vào tử số và kiểm tra xem nó có bằng 0 hay không: \[ ax^2 - (a-2)x - 2 \bigg|_{x=1} = a(1)^2 - (a-2)(1) - 2 = a - (a-2) - 2 = 0 \] Do đó, ta có thể rút gọn biểu thức: \[ f(x) = \frac{(ax^2 - (a-2)x - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{x - 1} \] Ta thực hiện phép chia đa thức \( ax^2 - (a-2)x - 2 \) cho \( x - 1 \): \[ ax^2 - (a-2)x - 2 = (x-1)(ax + a - 2) \] Vậy: \[ f(x) = \frac{(x-1)(ax + a - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{x - 1} \] \[ f(x) = (ax + a - 2)(\sqrt{x+3} + 2) \] Giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} f(x) = (a(1) + a - 2)(\sqrt{1+3} + 2) = (2a - 2)(2 + 2) = (2a - 2) \cdot 4 = 8a - 8 \] Để hàm số liên tục tại \( x = 1 \), ta cần: \[ 8a - 8 = 8 + a^2 \] \[ 8a - 8 = 8 + a^2 \] \[ a^2 - 8a + 16 = 0 \] \[ (a - 4)^2 = 0 \] \[ a = 4 \] Vậy có duy nhất một giá trị \( a = 4 \) để hàm số liên tục tại \( x = 1 \). Đáp số: \( a = 4 \)