mong được giải giúp.

Câu 5: Trước tiên, ta xác định các điểm và tính toán các đoạn thẳng liên quan trong hình chữ nhật \(ABCD\). - \(AB = 4\) - \(AD = 3\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), vậy: \[ AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ACM\) nằm ở giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác đó. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số \(2:1\), tính từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện. Ta tính độ dài \(CM\): \[ CM = \sqrt{AM^2 + AC^2} \] Trong đó, \(AC\) là đường chéo của hình chữ nhật \(ABCD\): \[ AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Do đó: \[ CM = \sqrt{AM^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \] Trọng tâm \(G\) chia \(CM\) theo tỉ số \(2:1\), nên: \[ CG = \frac{2}{3} \times CM = \frac{2}{3} \times \sqrt{29} \] Bây giờ, ta tính \(BG\). Ta biết rằng \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACM\), do đó \(G\) cũng nằm trên đường trung tuyến từ \(B\) đến \(CM\). Ta cần tính \(BG\) dựa trên các đoạn thẳng đã biết. Ta sử dụng tính chất trọng tâm chia đường trung tuyến thành tỉ số \(2:1\): \[ BG = \frac{2}{3} \times BM \] Trong đó, \(BM\) là đoạn thẳng từ \(B\) đến \(M\): \[ BM = \sqrt{BC^2 + CM^2} \] \[ BC = AD = 3 \] \[ BM = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \] Do đó: \[ BG = \frac{2}{3} \times \sqrt{13} \] Cuối cùng, ta tính \(BG \times CM\): \[ BG \times CM = \left( \frac{2}{3} \times \sqrt{13} \right) \times \sqrt{29} = \frac{2}{3} \times \sqrt{13 \times 29} = \frac{2}{3} \times \sqrt{377} \] Vậy: \[ BG \times CM = \frac{2}{3} \times \sqrt{377} \] Đáp số: \[ BG \times CM = \frac{2}{3} \times \sqrt{377} \] Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng điều kiện \( |MA + MB + MC| = 6 \) chỉ ra rằng tổng các khoảng cách từ điểm \( M \) đến ba đỉnh của tam giác \( ABC \) là một hằng số. Điều này gợi ý rằng điểm \( M \) nằm trên một đường tròn cố định. Bước 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn. - Ta biết rằng nếu tổng các khoảng cách từ một điểm đến ba đỉnh của một tam giác là hằng số, thì điểm đó nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. - Tuy nhiên, trong trường hợp này, tổng các khoảng cách là 6, điều này có thể chỉ ra rằng điểm \( M \) nằm trên một đường tròn có bán kính cố định. Bước 2: Xác định bán kính của đường tròn. - Ta giả sử rằng điểm \( M \) nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \). Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) sẽ là bán kính của đường tròn mà điểm \( M \) nằm trên đó. - Do đó, bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) sẽ là \( R \). Bước 3: Kết luận. - Vì tổng các khoảng cách từ điểm \( M \) đến ba đỉnh của tam giác \( ABC \) là 6, nên điểm \( M \) nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) với bán kính \( R \). Do đó, điểm \( M \) thuộc đường tròn có bán kính bằng \( R \). Đáp số: Điểm \( M \) thuộc đường tròn có bán kính bằng \( R \).