Giúp mình với!

Câu 3: Để giải quyết các góc nhị diện trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm góc giữa hai mặt phẳng thông qua việc tìm góc giữa hai đường thẳng vuông góc với nhau và nằm trong mỗi mặt phẳng. Bước 1: Xác định các điểm và vectơ cần thiết - Đáy ABCD là hình vuông cạnh 2. - SA = SB = SC = SD = 2√2. - M là trung điểm của SD. Bước 2: Tìm góc nhị diện [S, AC, D] - Mặt phẳng (SAC) và (ACD) chung đường thẳng AC. - Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng vuông góc với AC trong mỗi mặt phẳng. - Trong (SAC), đường thẳng SD vuông góc với AC. - Trong (ACD), đường thẳng AD vuông góc với AC. - Góc giữa SD và AD chính là góc nhị diện [S, AC, D]. Ta có: $$ Do đó: $$ Bước 3: Tìm góc nhị diện [S, AB, D] - Mặt phẳng (SAB) và (ABD) chung đường thẳng AB. - Trong (SAB), đường thẳng SD vuông góc với AB. - Trong (ABD), đường thẳng BD vuông góc với AB. - Góc giữa SD và BD chính là góc nhị diện [S, AB, D]. Ta có: $$ Do đó: $$ Bước 4: Tìm góc nhị diện [B, SC, D] - Mặt phẳng (BSC) và (SCD) chung đường thẳng SC. - Trong (BSC), đường thẳng BC vuông góc với SC. - Trong (SCD), đường thẳng CD vuông góc với SC. - Góc giữa BC và CD chính là góc nhị diện [B, SC, D]. Ta có: $$ Do đó: $$ Bước 5: Tìm góc nhị diện [M, AC, B] - Mặt phẳng (MAC) và (ACB) chung đường thẳng AC. - Trong (MAC), đường thẳng MD vuông góc với AC. - Trong (ACB), đường thẳng AB vuông góc với AC. - Góc giữa MD và AB chính là góc nhị diện [M, AC, B]. Ta có: $$ Do đó: $$ Kết luận - Góc nhị diện [S, AC, D] là $$. - Góc nhị diện [S, AB, D] là $$. - Góc nhị diện [B, SC, D] là $$. - Góc nhị diện [M, AC, B] là $$. Câu 4: Trước tiên, ta xác định các góc nhị diện theo yêu cầu của đề bài. 1. Góc nhị diện [S, CD, A]: - Ta cần xác định góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ACD). - Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có SO là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD). - Vì tam giác SAB đều nên SH là đường cao hạ từ S xuống AB, do đó SH ⊥ AB. - Mặt khác, ta biết SH ⊥ AC, suy ra SH ⊥ (ABCD). - Do đó, SO là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD), và SO ⊥ CD. - Gọi M là giao điểm của SO và CD, ta có góc SMO là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ACD). 2. Góc nhị diện [S, AC, D]: - Ta cần xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ACD). - Gọi N là giao điểm của SO và AC, ta có góc SNO là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ACD). 3. Góc nhị diện [S, BD, C]: - Ta cần xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (BDC). - Gọi P là giao điểm của SO và BD, ta có góc SPO là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (BDC). Bây giờ, ta tính toán cụ thể từng góc nhị diện. - Tính góc SMO: - Ta có SO là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD), và SO ⊥ CD. - Vì SO ⊥ CD và SO ⊥ AC, suy ra SO ⊥ (ACD). - Do đó, góc SMO là góc giữa SO và mặt phẳng (ACD), tức là góc giữa SO và CD. - Vì SO là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD), ta có SO = $$. - Góc SMO là góc giữa SO và CD, tức là góc giữa SO và mặt phẳng (ACD), do đó góc SMO = 90°. - Tính góc SNO: - Ta có SO là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD), và SO ⊥ AC. - Vì SO ⊥ AC và SO ⊥ BD, suy ra SO ⊥ (ACD). - Do đó, góc SNO là góc giữa SO và mặt phẳng (ACD), tức là góc giữa SO và AC. - Vì SO là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD), ta có SO = $$. - Góc SNO là góc giữa SO và AC, tức là góc giữa SO và mặt phẳng (ACD), do đó góc SNO = 90°. - Tính góc SPO: - Ta có SO là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD), và SO ⊥ BD. - Vì SO ⊥ BD và SO ⊥ AC, suy ra SO ⊥ (BDC). - Do đó, góc SPO là góc giữa SO và mặt phẳng (BDC), tức là góc giữa SO và BD. - Vì SO là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD), ta có SO = $$. - Góc SPO là góc giữa SO và BD, tức là góc giữa SO và mặt phẳng (BDC), do đó góc SPO = 90°. Vậy các góc nhị diện là: - Góc nhị diện [S, CD, A] = 90°. - Góc nhị diện [S, AC, D] = 90°. - Góc nhị diện [S, BD, C] = 90°. Câu 5: Trước tiên, ta xác định các điểm và đoạn thẳng liên quan: - Tam giác ABC là tam giác đều cạnh a. - AM = 2MB, suy ra MB = $$ và AM = $$. - NC = NA, suy ra N là trung điểm của AC, vậy AN = NC = $$. - SM = a và SM vuông góc với AB. - SN = a và SN vuông góc với AC. Ta cần tính góc nhị diện [S, AB, C]. Bước 1: Xác định hình chiếu trực giao của S lên mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu trực giao của S lên mặt phẳng (ABC). Vì SM và SN đều vuông góc với AB và AC, nên H nằm trên đường thẳng vuông góc hạ từ M và N xuống mặt phẳng (ABC). Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bước 2: Xác định góc nhị diện [S, AB, C]. Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) là góc giữa hai đường thẳng SA và SC khi chúng được chiếu xuống mặt phẳng (ABC). Bước 3: Tính góc giữa SA và SC. - Xét tam giác SAM, ta có: $$ $$ - Xét tam giác SAN, ta có: $$ $$ Do đó, góc giữa SA và SC là góc giữa hai đường thẳng SA và SC khi chúng được chiếu xuống mặt phẳng (ABC). Ta có thể sử dụng công thức cosinus trong tam giác để tính góc này. Bước 4: Tính góc giữa SA và SC. - Xét tam giác SAB và SAC, ta có: $$ $$ Vì tam giác đều, nên SB = SC = a. Do đó: $$ Tương tự: $$ Góc nhị diện [S, AB, C] là góc giữa hai đường thẳng SA và SC khi chúng được chiếu xuống mặt phẳng (ABC). Ta có thể sử dụng công thức cosinus trong tam giác để tính góc này. Cuối cùng, ta có: $$ Vậy góc nhị diện [S, AB, C] là: $$ Đáp số: Góc nhị diện [S, AB, C] là $$. Câu 6: Trước tiên, ta xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). Vì SA vuông góc với (ABCD), nên góc giữa SC và (ABCD) chính là góc $$. Ta biết rằng $$, do đó tam giác SAC là tam giác vuông cân tại A, suy ra $$. Tiếp theo, ta tính độ dài các đoạn thẳng liên quan: - Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B, nên AC là đường chéo của hình thang này. Ta có: $$ - Do tam giác SAC là tam giác vuông cân tại A, nên: $$ Bây giờ, ta tính diện tích tam giác SAD: - Diện tích tam giác SAD là: $$ Tiếp theo, ta tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD): - Ta dựng đường cao CH từ C hạ vuông góc với SD. Ta cần tính độ dài CH. - Ta có diện tích tam giác SCD là: $$ - Diện tích tam giác SCD cũng có thể được tính qua SD và CH: $$ - Ta tính SD: $$ - Do đó: $$ $$ Cuối cùng, ta tính thể tích khối chóp C.SAD: $$ Vậy thể tích khối chóp C.SAD là: $$ Câu 7: Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình chữ nhật. - Tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S. - Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy là trung điểm của cạnh AB. - $$, $$. Bây giờ, ta sẽ xác định các điểm và đường thẳng liên quan: - Gọi O là trung điểm của AB, tức là hình chiếu vuông góc của S xuống đáy. - Vì SAB là tam giác vuông cân tại S, nên $$ và $$. Do đó, ta có: - $$. Tiếp theo, ta xác định các mặt phẳng liên quan: - Mặt phẳng (SAD) chứa các điểm S, A, D. - Mặt phẳng (SCD) chứa các điểm S, C, D. Ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD). Để làm điều này, ta sẽ tìm góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến SD. Ta xác định các đường thẳng: - Đường thẳng SD nằm trong cả hai mặt phẳng (SCD) và (SAD). - Ta cần tìm đường thẳng nằm trong (SCD) và vuông góc với SD, và đường thẳng nằm trong (SAD) và vuông góc với SD. Trong mặt phẳng (SCD): - Đường thẳng CD vuông góc với SD vì ABCD là hình chữ nhật và SD là đường chéo của tam giác SCD. Trong mặt phẳng (SAD): - Đường thẳng AD vuông góc với SD vì ABCD là hình chữ nhật và SD là đường chéo của tam giác SAD. Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) chính là góc giữa hai đường thẳng CD và AD. Ta tính góc giữa CD và AD: - Vì ABCD là hình chữ nhật, góc giữa CD và AD là góc vuông, tức là 90°. Tuy nhiên, ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng, tức là góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến SD. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) là góc giữa hai đường thẳng CD và AD, nhưng ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến SD. Ta xác định lại: - Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) là góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến SD. Vì vậy, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) là góc giữa hai đường thẳng CD và AD, nhưng ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến SD. Cuối cùng, ta kết luận: - Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) là 45°. Đáp số: 45°. Câu 8: Để xác định giá trị của $$ sao cho góc nhị diện phẳng $$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh $$. - $$ và $$. 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng $$ và mặt phẳng $$ giao nhau theo đường thẳng $$. 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng $$ và $$ là góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến $$. 4. Lập phương trình và tính toán: - Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ khi chiếu lên mặt phẳng $$ và $$. - Gọi $$ là chân đường cao hạ từ $$ xuống $$. Vì $$, nên $$. - Gọi $$ là chân đường cao hạ từ $$ xuống $$. Vì $$, nên $$. 5. Tính góc giữa hai đường thẳng: - Góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ khi chiếu lên mặt phẳng $$ và $$ là góc giữa hai đường thẳng $$ và $$. - Ta có $$ vì $$. 6. Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng: - Góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ là $$. - Ta có: $$ - Biến đổi phương trình: $$ - Nhân cả hai vế với $$: $$ - Bình phương cả hai vế: $$ - Biến đổi phương trình: $$ - Giải phương trình: $$ $$ Vậy giá trị của $$ để góc nhị diện phẳng $$ là $$. Đáp án: $$. Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định góc nhị diện giữa hai mặt phẳng $$ và $$. Bước 1: Xác định đường thẳng chung của hai mặt phẳng $$ và $$: - Đường thẳng chung của hai mặt phẳng $$ và $$ là đường thẳng $$. Bước 2: Xác định các đường vuông góc hạ từ điểm $$ và điểm $$ xuống mặt phẳng $$: - Vì $$ nên $$ là đường vuông góc hạ từ điểm $$ xuống mặt phẳng $$. - Điểm $$ nằm trên mặt phẳng $$ nên đường vuông góc hạ từ điểm $$ xuống mặt phẳng $$ là chính nó, tức là $$. Bước 3: Xác định góc nhị diện giữa hai mặt phẳng $$ và $$: - Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng $$ và $$ là góc giữa hai đường thẳng $$ và $$, tức là góc $$. Do đó, góc nhị diện phẳng $$ là góc $$. Đáp án đúng là: C. $$. Câu 2: Trước tiên, ta cần hiểu rằng góc phẳng của góc nhị diện $$ là góc giữa hai đường thẳng $$ và $$. Ta sẽ chứng minh rằng góc này chính là góc $$. 1. Xác định các đường thẳng và mặt phẳng liên quan: - $$, tức là $$ vuông góc với mặt phẳng $$. - $$ là hình vuông, do đó các cạnh của nó đều bằng nhau và các góc đều là $$. 2. Xét góc giữa hai đường thẳng $$ và $$: - Vì $$, nên $$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $$, bao gồm cả $$, $$, $$, và $$. - Do đó, $$ và $$. 3. Xét tam giác $$ và $$: - Trong tam giác $$, ta có $$, do đó $$. - Trong tam giác $$, ta có $$, do đó $$. 4. Xét góc $$: - Góc $$ là góc giữa hai đường thẳng $$ và $$. - Vì $$, nên góc $$ chính là góc phẳng của góc nhị diện $$. Do đó, góc phẳng của góc nhị diện $$ là góc $$. Đáp án đúng là: B. $$.