Giúp mình với!

Câu 33. Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{8n^5 - 2n^3 + 1}{4n^3 + 2n^2 + 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho $n^5$ (vì đây là bậc cao nhất trong tử số): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{8n^5 - 2n^3 + 1}{4n^3 + 2n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{8n^5}{n^5} - \frac{2n^3}{n^5} + \frac{1}{n^5}}{\frac{4n^3}{n^5} + \frac{2n^2}{n^5} + \frac{1}{n^5}} \] Bước 2: Rút gọn các phân số: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{8 - \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^5}}{\frac{4}{n^2} + \frac{2}{n^3} + \frac{1}{n^5}} \] Bước 3: Xét giới hạn của từng thành phần khi $n \to \infty$: \[ = \frac{8 - 0 + 0}{0 + 0 + 0} = \frac{8}{0} \] Khi $n \to \infty$, các phân số $\frac{2}{n^2}$, $\frac{1}{n^5}$, $\frac{4}{n^2}$, $\frac{2}{n^3}$, $\frac{1}{n^5}$ đều tiến đến 0. Do đó, biểu thức trở thành: \[ = \frac{8 - 0 + 0}{0 + 0 + 0} = \frac{8}{0} \] Như vậy, giới hạn của biểu thức là vô cùng lớn ($+\infty$). Đáp án đúng là: D. 4. Tuy nhiên, theo các bước trên, ta thấy rằng biểu thức tiến đến vô cùng lớn, do đó đáp án đúng là không có trong các lựa chọn đã cho. Câu 40. Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 3n^3}{2n^3 + 5n - 2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho $n^3$ (vì đây là bậc cao nhất trong biểu thức): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^3} - \frac{3n^3}{n^3}}{\frac{2n^3}{n^3} + \frac{5n}{n^3} - \frac{2}{n^3}} \] Bước 2: Rút gọn các phân số: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} - 3}{2 + \frac{5}{n^2} - \frac{2}{n^3}} \] Bước 3: Tính giới hạn của từng thành phần: \[ = \frac{\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n}\right) - 3}{\lim_{n \to \infty} 2 + \lim_{n \to \infty} \left(\frac{5}{n^2}\right) - \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{n^3}\right)} \] \[ = \frac{0 - 3}{2 + 0 - 0} \] \[ = \frac{-3}{2} \] Vậy giới hạn của biểu thức là $-\frac{3}{2}$. Đáp án đúng là: C. $-\frac{3}{2}$. Câu 41. Để tìm giới hạn của dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{2n-1}{3-n}, n \in \mathbb{N}^$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng giới hạn Ta thấy rằng khi $n$ tiến đến vô cùng, cả tử số và mẫu số đều tiến đến vô cùng. Do đó, ta cần biến đổi biểu thức để dễ dàng tìm giới hạn. Bước 2: Biến đổi biểu thức Ta chia cả tử số và mẫu số cho $n$: \[ u_n = \frac{2n-1}{3-n} = \frac{\frac{2n}{n} - \frac{1}{n}}{\frac{3}{n} - \frac{n}{n}} = \frac{2 - \frac{1}{n}}{\frac{3}{n} - 1} \] Bước 3: Tìm giới hạn Khi $n$ tiến đến vô cùng, $\frac{1}{n}$ và $\frac{3}{n}$ đều tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n}}{\frac{3}{n} - 1} = \frac{2 - 0}{0 - 1} = \frac{2}{-1} = -2 \] Vậy giới hạn của dãy số $(u_n)$ là $-2$. Đáp án đúng là A. -2. Câu 46. Để tính $\lim\frac{u_n}{v_n}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của $u_n$ và $v_n$: - Ta có $u_n = \frac{1}{n+1}$. - Khi $n \to +\infty$, ta có $n+1 \to +\infty$. Do đó, $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$. - Ta có $v_n = \frac{3}{n+3}$. - Khi $n \to +\infty$, ta có $n+3 \to +\infty$. Do đó, $\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{3}{n+3} = 0$. 2. Tính giới hạn của $\frac{u_n}{v_n}$: - Ta có $\frac{u_n}{v_n} = \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{3}{n+3}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n+3}{3} = \frac{n+3}{3(n+1)}$. - Khi $n \to +\infty$, ta có: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n+3}{3(n+1)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(1 + \frac{3}{n})}{3n(1 + \frac{1}{n})} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{3}{n}}{3(1 + \frac{1}{n})} = \frac{1 + 0}{3(1 + 0)} = \frac{1}{3}. \] Vậy $\lim\frac{u_n}{v_n} = \frac{1}{3}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{1}{3}$. --- Bây giờ, ta tính $\lim\frac{8n^5 - 2n^3 + 1}{2n^2 - 4n^5 + 2019}$: 1. Phân tích và rút gọn biểu thức: - Ta chia cả tử và mẫu cho $n^5$: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{8n^5 - 2n^3 + 1}{2n^2 - 4n^5 + 2019} = \lim_{n \to +\infty} \frac{8 - \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^5}}{\frac{2}{n^3} - 4 + \frac{2019}{n^5}}. \] - Khi $n \to +\infty$, các phân số $\frac{2}{n^2}$, $\frac{1}{n^5}$, $\frac{2}{n^3}$ và $\frac{2019}{n^5}$ đều tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{8 - \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^5}}{\frac{2}{n^3} - 4 + \frac{2019}{n^5}} = \frac{8 - 0 + 0}{0 - 4 + 0} = \frac{8}{-4} = -2. \] Vậy $\lim\frac{8n^5 - 2n^3 + 1}{2n^2 - 4n^5 + 2019} = -2$. Câu 47. Để giải quyết giới hạn của biểu thức $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - x \right)$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - x \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - x \right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 2x} + x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \] Bước 2: Nhân tử liên hợp: \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x})^2 - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2x - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho \(x\) để dễ dàng tính giới hạn: \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x/x}{\sqrt{x^2 + 2x}/x + x/x} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} \] Bước 4: Tính giới hạn khi \(x \to +\infty\): \[ = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1} \] \[ = \frac{2}{1 + 1} \] \[ = \frac{2}{2} \] \[ = 1 \] Như vậy, giới hạn của biểu thức là 1. Đáp án đúng là D. 1. Câu 48. Để tính giá trị của \( B = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 3n + 1}{(3n - 1)^2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn biểu thức trong giới hạn: Ta chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ B = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4n^2 + 3n + 1}{n^2}}{\frac{(3n - 1)^2}{n^2}} \] 2. Tính các giới hạn riêng lẻ: - Tử số: \[ \frac{4n^2 + 3n + 1}{n^2} = 4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} \] Khi \( n \to \infty \), các phân số \(\frac{3}{n}\) và \(\frac{1}{n^2}\) sẽ tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \left( 4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} \right) = 4 \] - Mẫu số: \[ \frac{(3n - 1)^2}{n^2} = \frac{9n^2 - 6n + 1}{n^2} = 9 - \frac{6}{n} + \frac{1}{n^2} \] Khi \( n \to \infty \), các phân số \(\frac{6}{n}\) và \(\frac{1}{n^2}\) sẽ tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \left( 9 - \frac{6}{n} + \frac{1}{n^2} \right) = 9 \] 3. Tính giới hạn tổng thể: \[ B = \lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{9 - \frac{6}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{4}{9} \] Vậy giá trị của \( B \) là \( \frac{4}{9} \). Đáp án đúng là: A. \( \frac{4}{9} \). Câu 50. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của tham số \(a\) sao cho giới hạn của biểu thức \(\left(\frac{3n+2}{n+2} + a^2 - 4a\right)\) bằng 0 khi \(n\) tiến đến vô cùng. Bước 1: Tính giới hạn của phân thức \(\frac{3n+2}{n+2}\). \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n+2}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = 3 \] Bước 2: Thay giới hạn vừa tìm được vào biểu thức ban đầu. \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3n+2}{n+2} + a^2 - 4a \right) = 3 + a^2 - 4a \] Bước 3: Đặt biểu thức này bằng 0 để tìm giá trị của \(a\). \[ 3 + a^2 - 4a = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai \(a^2 - 4a + 3 = 0\). Phương trình này có dạng \(a^2 - 4a + 3 = 0\). Ta sử dụng công thức giải phương trình bậc hai \(a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ a = \frac{4 + 2}{2} = 3 \quad \text{và} \quad a = \frac{4 - 2}{2} = 1 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện nguyên của \(a\). Các giá trị \(a = 3\) và \(a = 1\) đều là số nguyên. Bước 6: Tính tổng các phần tử của tập hợp \(S\). \[ S = \{1, 3\} \] Tổng các phần tử của \(S\) là: \[ 1 + 3 = 4 \] Vậy đáp án đúng là: Đáp án: A. 4. Câu 51. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính giới hạn của biểu thức \(\frac{an^2 + a^2n + 1}{(n+1)^2}\) và so sánh nó với \(a^2 - a + 1\). Bước 1: Tính giới hạn của biểu thức \(\frac{an^2 + a^2n + 1}{(n+1)^2}\). Ta có: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{an^2 + a^2n + 1}{(n+1)^2} \] Chia cả tử và mẫu cho \(n^2\): \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{a + \frac{a^2}{n} + \frac{1}{n^2}}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^2} \] Khi \(n \to \infty\), các phân số \(\frac{a^2}{n}\), \(\frac{1}{n^2}\), và \(\frac{1}{n}\) đều tiến đến 0. Do đó: \[ = \frac{a + 0 + 0}{(1 + 0)^2} = a \] Bước 2: So sánh giới hạn vừa tìm được với \(a^2 - a + 1\). Theo đề bài, ta có: \[ a = a^2 - a + 1 \] Bước 3: Giải phương trình \(a = a^2 - a + 1\). Rearrange the equation: \[ a^2 - 2a + 1 = 0 \] Phương trình này có dạng: \[ (a - 1)^2 = 0 \] Giải phương trình này, ta có: \[ a - 1 = 0 \implies a = 1 \] Bước 4: Kiểm tra các khoảng đã cho trong các đáp án để xác định khẳng định đúng. - A. \(0 < a < 2\): Đúng vì \(a = 1\) nằm trong khoảng này. - B. \(0 < a < \frac{1}{2}\): Sai vì \(a = 1\) không nằm trong khoảng này. - C. \(-1 < a < 0\): Sai vì \(a = 1\) không nằm trong khoảng này. - D. \(1 < a < 3\): Sai vì \(a = 1\) không nằm trong khoảng này. Vậy khẳng định đúng là: \[ \boxed{A. 0 < a < 2} \] Câu 52. Để tìm giới hạn của dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{(3n-1)(3-n)^2}{(4n-5)^3}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho $n^3$ để chuẩn hóa biểu thức: \[ u_n = \frac{(3n-1)(3-n)^2}{(4n-5)^3} = \frac{\left(3 - \frac{1}{n}\right)\left(\frac{3}{n} - 1\right)^2}{\left(4 - \frac{5}{n}\right)^3} \] Bước 2: Xét giới hạn của từng thành phần trong biểu thức khi $n \to \infty$: \[ \lim_{n \to \infty} \left(3 - \frac{1}{n}\right) = 3 \] \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n} - 1\right)^2 = (-1)^2 = 1 \] \[ \lim_{n \to \infty} \left(4 - \frac{5}{n}\right)^3 = 4^3 = 64 \] Bước 3: Kết hợp các giới hạn trên để tìm giới hạn của dãy số: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{3 \cdot 1}{64} = \frac{3}{64} \] Vậy giới hạn của dãy số $(u_n)$ là $\frac{3}{64}$. Phân số này đã ở dạng tối giản, do đó $a = 3$ và $b = 64$. Cuối cùng, tính $a \cdot b$: \[ a \cdot b = 3 \cdot 64 = 192 \] Đáp án đúng là: A. 192 Câu 53. Để tìm giá trị của \(a\) sao cho \(\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 + n^2 - 4}{an^3 + 2} = \frac{1}{2}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của phân thức: Ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho \(n^3\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 + n^2 - 4}{an^3 + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n} - \frac{4}{n^3}}{a + \frac{2}{n^3}} \] 2. Tính giới hạn từng phần: Khi \(n \to \infty\), các phân số \(\frac{1}{n}\), \(\frac{4}{n^3}\), và \(\frac{2}{n^3}\) đều tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n} - \frac{4}{n^3}}{a + \frac{2}{n^3}} = \frac{2 + 0 - 0}{a + 0} = \frac{2}{a} \] 3. So sánh với giới hạn đã cho: Theo đề bài, giới hạn này phải bằng \(\frac{1}{2}\). Vậy ta có: \[ \frac{2}{a} = \frac{1}{2} \] 4. Giải phương trình để tìm \(a\): Nhân cả hai vế với \(a\) và 2: \[ 2 \cdot 2 = a \cdot 1 \implies 4 = a \] Vậy \(a = 4\). 5. Tính \(a - a^2\): Thay \(a = 4\) vào biểu thức \(a - a^2\): \[ a - a^2 = 4 - 4^2 = 4 - 16 = -12 \] Vậy đáp án đúng là: A. -12. Câu 54. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính giới hạn của dãy số $(u_n)$ khi $n$ tiến đến vô cùng. Dãy số $(u_n)$ được định nghĩa là: \[ u_n = \frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{n^2 + 1} \] Trước tiên, ta cần biết tổng của dãy số tự nhiên từ 1 đến $n$. Tổng này được tính bằng công thức: \[ 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2} \] Thay vào biểu thức của $u_n$, ta có: \[ u_n = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2 + 1} = \frac{n(n+1)}{2(n^2 + 1)} \] Bây giờ, ta sẽ tính giới hạn của $u_n$ khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2 + 1)} \] Chia cả tử và mẫu cho $n^2$: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{n^2}}{\frac{2(n^2 + 1)}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2 + n}{n^2}}{\frac{2n^2 + 2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{2}{n^2}} \] Khi $n$ tiến đến vô cùng, $\frac{1}{n}$ và $\frac{2}{n^2}$ đều tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} \] Như vậy, giới hạn của dãy số $(u_n)$ khi $n$ tiến đến vô cùng là $\frac{1}{2}$. Do đó, mệnh đề đúng là: A. $\lim u_n = 0.$ Đáp án: A. $\lim u_n = 0.$