Giúp mình với! Bài 9,10 ạ

9. a) Tìm n để $(n+2n+6)\vdots(n+4)$ (với n$\in$N) Ta có: \[ n + 2n + 6 = 3n + 6 \] Để \(3n + 6\) chia hết cho \(n + 4\), ta có: \[ 3n + 6 = 3(n + 4) - 6 \] Do đó: \[ 3n + 6 = 3(n + 4) - 6 \] Điều này có nghĩa là \(3n + 6\) sẽ chia hết cho \(n + 4\) nếu \(n + 4\) chia hết cho 6. Ta thử các giá trị \(n\) để tìm các giá trị thỏa mãn: - \(n = 2\): \(n + 4 = 6\) - \(n = 8\): \(n + 4 = 12\) Vậy \(n = 2\) hoặc \(n = 8\). b) Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(N = x(x - 5) - 3\) Ta viết lại biểu thức: \[ N = x^2 - 5x - 3 \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(N\), ta hoàn chỉnh bình phương: \[ N = x^2 - 5x - 3 = \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} - 3 = \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{37}{4} \] Giá trị nhỏ nhất của \((x - \frac{5}{2})^2\) là 0, do đó giá trị nhỏ nhất của \(N\) là: \[ N_{min} = -\frac{37}{4} \] 10. Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\). \(D\) là trung điểm của \(BC\). Trên đối của tia \(DA\) lấy \(E\) sao cho \(AD = DE\). a) Chứng minh: \(ABEC\) là hình thoi. - Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(BD = DC\). - \(AD = DE\) nên \(A\) là trung điểm của \(DE\). - \(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)). Do đó, \(ABEC\) có các cạnh \(AB = AC = BE = CE\), tức là \(ABEC\) là hình thoi. b) \(F\) là trung điểm của \(AC\). Lấy \(K \in\) tia \(DF\) sao cho \(F\) là trung điểm của \(DK\). Chứng minh: \(\widehat{AKC} = 90^\circ\). - \(F\) là trung điểm của \(AC\) và \(DK\), do đó \(AF = FC\) và \(DF = FK\). - \(D\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(BD = DC\). Vì \(F\) là trung điểm của \(AC\) và \(DK\), ta có \(AF = FC\) và \(DF = FK\). Do đó, tam giác \(AKC\) có \(F\) là trung điểm của \(AC\) và \(DK\), dẫn đến \(\widehat{AKC} = 90^\circ\). c) Chứng minh: \(KD // EC\) và \(AM\) đi qua trung điểm của \(EC\) (\(M\) là giao điểm của \(EF\) và \(CD\)). - \(D\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(BD = DC\). - \(F\) là trung điểm của \(AC\) và \(DK\), do đó \(AF = FC\) và \(DF = FK\). Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\) và \(F\) là trung điểm của \(AC\) và \(DK\), ta có \(KD // EC\). Do đó, \(AM\) đi qua trung điểm của \(EC\). d) Chứng minh với mọi số nguyên \(n\), phân thức \(\frac{n^3 + 2n}{n}\) là phân số tối giản. Ta có: \[ \frac{n^3 + 2n}{n} = \frac{n(n^2 + 2)}{n} = n^2 + 2 \] Phân số này đã được rút gọn về dạng \(n^2 + 2\), do đó nó là phân số tối giản.