giúp mình với

Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định công thức đúng trong các lựa chọn đã cho liên quan đến Định lý Cosine. Chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xác định công thức đúng. Định lý Cosine cho tam giác ABC với các cạnh a, b, c tương ứng với các góc A, B, C là: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. \( a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A \) - Công thức này sai vì nó thêm \( 2bc \cos A \) thay vì trừ. B. \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \) - Đây là công thức đúng theo Định lý Cosine. C. \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos C \) - Công thức này sai vì nó sử dụng \( \cos C \) thay vì \( \cos A \). D. \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos B \) - Công thức này sai vì nó sử dụng \( \cos B \) thay vì \( \cos A \). Vậy, công thức đúng là: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Đáp án đúng là: B. \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \). Câu 27: Trước tiên, chúng ta sẽ xem xét từng công thức và xác định công thức nào đúng dựa trên diện tích tam giác ABC. Diện tích của tam giác ABC có thể được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{cạnh đáy} \times \text{chiều cao} \] Trong tam giác ABC, nếu ta lấy cạnh BC làm cạnh đáy thì chiều cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC sẽ là đoạn thẳng vuông góc với BC. Chiều cao này tạo thành góc với cạnh AB hoặc AC, cụ thể là góc A. Do đó, diện tích tam giác ABC có thể được viết lại dưới dạng: \[ S = \frac{1}{2} \times BC \times \text{chiều cao từ A đến BC} \] Chiều cao từ A đến BC có thể được biểu diễn bằng: \[ \text{chiều cao từ A đến BC} = AB \times \sin(\angle BAC) \] Vậy diện tích tam giác ABC sẽ là: \[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AB \times \sin(\angle BAC) \] Trong đó, BC = a, AB = c và góc BAC = A. Do đó, công thức diện tích trở thành: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times c \times \sin(A) \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chúng ta thấy rằng: A. \( S = \frac{1}{2} bc \sin A \) B. \( S = \frac{1}{2} ac \sin A \) C. \( S = \frac{1}{2} bc \sin B \) D. \( S = \frac{1}{2} bc \sin B \) Như vậy, công thức đúng là: \[ S = \frac{1}{2} bc \sin A \] Vậy đáp án đúng là: A. \( S = \frac{1}{2} bc \sin A \) Câu 28: Trong hình bình hành ABCD, ta biết rằng các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ sẽ là các vectơ nằm trên các đường thẳng song song với AB hoặc ngược hướng với AB. - $\overrightarrow{BA}$ là vectơ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$, nên cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{CD}$ là vectơ nằm trên đường thẳng song song với AB, nên cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{DC}$ là vectơ ngược hướng với $\overrightarrow{CD}$, nên không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{BC}$ là vectơ nằm trên đường thẳng không song song với AB, nên không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{DA}$ là vectơ nằm trên đường thẳng không song song với AB, nên không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{CB}$ là vectơ ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$, nên không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. Vậy các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CB}$. Câu 29: Trước tiên, ta vẽ hình và xác định các vectơ liên quan. - Tam giác ABC vuông cân tại A, do đó AB = AC = a và góc BAC = 90°. - Ta cần tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$. Ta sử dụng công thức tính độ dài tổng của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 + 2 |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta)} \] Trong đó: - $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$, do đó $|\overrightarrow{u}| = a$. - $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}$, do đó $|\overrightarrow{v}| = a$. - Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là 90°, do đó $\cos(90°) = 0$. Áp dụng công thức: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot 0} \] \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2} \] \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{2a^2} \] \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = a\sqrt{2} \] Vậy đáp án đúng là: A. $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = a\sqrt{2}$. Câu 30: Ta biết rằng $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AB}$. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{a} \] Bây giờ, ta sẽ tìm $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{a} \] \[ \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{a} \] Vậy: \[ \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = -2\overrightarrow{a} \] Tiếp theo, ta tìm $\overrightarrow{CB}$: \[ \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} = -(-2\overrightarrow{a}) = 2\overrightarrow{a} \] Như vậy, khẳng định đúng là: C. $\overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{a}$ Đáp án: C. $\overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{a}$ Câu 31: Ta biết rằng tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\alpha) \] Trong bài toán này, ta đã cho: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \] So sánh hai biểu thức trên, ta có: \[ |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\alpha) = -|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \] Chia cả hai vế cho $|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|$ (vì $|\overrightarrow{a}|$ và $|\overrightarrow{b}|$ đều khác 0): \[ \cos(\alpha) = -1 \] Giá trị của $\cos(\alpha)$ bằng -1 khi góc $\alpha$ bằng 180°. Do đó, khẳng định đúng là: A. $\alpha = 180^\circ$ Đáp án: A. $\alpha = 180^\circ$ Câu 32: Để tính diện tích của tam giác có ba cạnh là 13, 14 và 15, ta sẽ sử dụng công thức Heron. Bước 1: Tính nửa chu vi (p) của tam giác: \[ p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \] Bước 2: Áp dụng công thức Heron để tính diện tích (S): \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \] Trong đó, \( a = 13 \), \( b = 14 \), \( c = 15 \). Thay các giá trị vào công thức: \[ S = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} \] \[ S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} \] \[ S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} \] \[ S = \sqrt{21 \times 336} \] \[ S = \sqrt{7056} \] \[ S = 84 \] Vậy diện tích của tam giác là 84. Đáp án đúng là: A. 84. Câu 33: Để tìm độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) của tam giác có ba cạnh là 5, 12, và 13, ta thực hiện các bước sau: 1. Kiểm tra tính chất của tam giác: - Ta thấy rằng \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\). - Do đó, tam giác này là tam giác vuông với cạnh huyền là 13. 2. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông: - Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền. - \(R = \frac{c}{2}\), trong đó \(c\) là cạnh huyền. 3. Áp dụng công thức: - Với cạnh huyền \(c = 13\), ta có: \[ R = \frac{13}{2} \] Vậy độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) của tam giác là \(\frac{13}{2}\). Đáp án đúng là: C. $\frac{13}{2}$. Câu 34: Để tính khoảng cách từ A đến B, chúng ta sẽ sử dụng Định lý Cosine trong tam giác ABC. Trước tiên, ta cần chuyển đổi góc $78^024'$ thành dạng thập phân: \[ 78^024' = 78 + \frac{24}{60} = 78 + 0.4 = 78.4^\circ \] Áp dụng Định lý Cosine trong tam giác ABC: \[ AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos(\angle ACB) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ AB^2 = 250^2 + 120^2 - 2 \cdot 250 \cdot 120 \cdot \cos(78.4^\circ) \] Tính các giá trị: \[ 250^2 = 62500 \] \[ 120^2 = 14400 \] \[ 2 \cdot 250 \cdot 120 = 60000 \] Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\cos(78.4^\circ)$: \[ \cos(78.4^\circ) \approx 0.2079 \] Thay vào công thức: \[ AB^2 = 62500 + 14400 - 60000 \cdot 0.2079 \] \[ AB^2 = 62500 + 14400 - 12474 \] \[ AB^2 = 64426 \] Cuối cùng, ta tính giá trị của AB: \[ AB = \sqrt{64426} \approx 253.8 \text{ m} \] Do đó, khoảng cách từ A đến B là khoảng 254 m, gần nhất với đáp án B. 255 m. Đáp án: B. 255 m. Câu 35: Để tìm độ lớn của lực tác động lên xe, ta cần tính tổng các lực tác động lên xe theo cùng một hướng. - Bạn An đẩy xe từ phía sau với lực \( F_1 = 2 \, N \). - Bạn Bình kéo xe từ phía trước với lực \( F_2 = 3 \, N \). Vì cả hai bạn đều tác động theo cùng một hướng (hướng di chuyển của xe), nên độ lớn của lực tác động lên xe sẽ là tổng của hai lực này: \[ F_{\text{tác động}} = F_1 + F_2 \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ F_{\text{tác động}} = 2 \, N + 3 \, N = 5 \, N \] Vậy, xe di chuyển với lực tác động có độ lớn bằng 5 N. Đáp số: 5 N.