Giúp mình với

Câu 8: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Xác định các giá trị trung tâm của mỗi nhóm: \[ [71;74) \rightarrow 72.5, \quad [74;77) \rightarrow 75.5, \quad [77;80) \rightarrow 78.5, \quad [80;83) \rightarrow 81.5, \quad [83;86) \rightarrow 84.5 \] - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(72.5 \times 1) + (75.5 \times 1) + (78.5 \times 2) + (81.5 \times 6) + (84.5 \times 2)}{1 + 1 + 2 + 6 + 2} \] \[ \bar{x} = \frac{72.5 + 75.5 + 157 + 489 + 169}{12} = \frac{963}{12} = 80.25 \] 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của khoảng cách giữa mỗi giá trị trung tâm và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng: \[ s^2 = \frac{(72.5 - 80.25)^2 \times 1 + (75.5 - 80.25)^2 \times 1 + (78.5 - 80.25)^2 \times 2 + (81.5 - 80.25)^2 \times 6 + (84.5 - 80.25)^2 \times 2}{12} \] \[ s^2 = \frac{(-7.75)^2 \times 1 + (-4.75)^2 \times 1 + (-1.75)^2 \times 2 + (1.25)^2 \times 6 + (4.25)^2 \times 2}{12} \] \[ s^2 = \frac{60.0625 + 22.5625 + 6.125 + 9.375 + 36.125}{12} = \frac{134.25}{12} = 11.1875 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(11.1875\). Đáp án đúng là: D. 11,1875. Câu 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Vì \( f(x) \) liên tục và đồng biến trên khoảng \( (3;11) \), nên \( x \) phải thuộc khoảng \( (3;11) \). 2. So sánh các biểu thức trong bất phương trình: - Bất phương trình đã cho là \( f(11x) > f(x^2) \). - Vì \( f(x) \) là hàm đồng biến, nên \( f(11x) > f(x^2) \) suy ra \( 11x > x^2 \). 3. Giải bất phương trình \( 11x > x^2 \): - Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 - 11x < 0 \] - Nhân cả hai vế với -1 (và đổi dấu bất phương trình): \[ x(x - 11) < 0 \] - Giải bất phương trình này bằng phương pháp xét dấu: \[ x < 0 \quad \text{hoặc} \quad x > 11 \] 4. Xét điều kiện \( x \) thuộc khoảng \( (3;11) \): - Kết hợp điều kiện \( x \) thuộc khoảng \( (3;11) \) với kết quả từ bước 3, ta có: \[ 3 < x < 11 \] 5. Tìm các nghiệm nguyên trong khoảng \( (3;11) \): - Các số nguyên nằm trong khoảng \( (3;11) \) là: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 6. Đếm số nghiệm nguyên: - Số nghiệm nguyên là 7. Vậy, số nghiệm nguyên của bất phương trình \( f(11x) > f(x^2) \) trên khoảng \( (3;11) \) là 7. Đáp án đúng là: C. 7. Câu 10: Để tìm thời điểm \( t \) mà tại đó tốc độ \( v \) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc \( v(t) \): - Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \) theo thời gian \( t \). \[ s(t) = 4t^2 - \frac{2t^2}{3} \] Ta tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt}\left(4t^2 - \frac{2t^2}{3}\right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm: \[ v(t) = 8t - \frac{4t}{3} \] Rút gọn biểu thức: \[ v(t) = \frac{24t - 4t}{3} = \frac{20t}{3} \] 2. Tìm giá trị lớn nhất của \( v(t) \): - Để tìm giá trị lớn nhất của \( v(t) \), ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0 để tìm điểm cực trị. \[ v'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{20t}{3}\right) = \frac{20}{3} \] Ta thấy rằng đạo hàm \( v'(t) \) là hằng số dương (\( \frac{20}{3} > 0 \)), do đó \( v(t) \) là hàm số tăng liên tục và không có cực đại hoặc cực tiểu. Điều này có nghĩa là \( v(t) \) không đạt giá trị lớn nhất trong khoảng thời gian hữu hạn. Tuy nhiên, nếu chúng ta xem xét các đáp án đã cho, ta nhận thấy rằng trong các lựa chọn, không có thời điểm nào làm cho \( v(t) \) đạt giá trị lớn nhất vì \( v(t) \) là hàm tuyến tính và luôn tăng theo thời gian. Do đó, trong bối cảnh của các lựa chọn đã cho, ta không thể xác định một thời điểm cụ thể mà \( v(t) \) đạt giá trị lớn nhất. Tuy nhiên, nếu phải chọn một trong các đáp án, ta có thể chọn thời điểm gần nhất với các lựa chọn đã cho. Đáp án: D. \( t = 3 \) Lý do: Trong các lựa chọn đã cho, \( t = 3 \) là thời điểm lớn nhất, do đó vận tốc tại thời điểm này sẽ lớn hơn so với các thời điểm khác trong các lựa chọn. Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm để xác định các khoảng tăng và giảm của hàm số \( y = f(x) \). Đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ f'(x) = (x + 1)(x - 4)^2(x - 8)^3 \] Bước 1: Xác định các điểm mà đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow (x + 1)(x - 4)^2(x - 8)^3 = 0 \] Các nghiệm của phương trình này là: \[ x = -1, \quad x = 4, \quad x = 8 \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng giữa các điểm nghiệm: - Khi \( x < -1 \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2 + 1)(-2 - 4)^2(-2 - 8)^3 = (-1)(-6)^2(-10)^3 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Khi \( -1 < x < 4 \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = (0 + 1)(0 - 4)^2(0 - 8)^3 = (1)(-4)^2(-8)^3 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-1, 4) \). - Khi \( 4 < x < 8 \): Chọn \( x = 6 \): \[ f'(6) = (6 + 1)(6 - 4)^2(6 - 8)^3 = (7)(2)^2(-2)^3 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (4, 8) \). - Khi \( x > 8 \): Chọn \( x = 9 \): \[ f'(9) = (9 + 1)(9 - 4)^2(9 - 8)^3 = (10)(5)^2(1)^3 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (8, \infty) \). Từ đó, ta có: - Hàm số \( f(x) \) giảm trên các khoảng \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 4) \), và \( (4, 8) \). - Hàm số \( f(x) \) tăng trên khoảng \( (8, \infty) \). Bây giờ, chúng ta kiểm tra các khẳng định: A. \( f(6) < f(8) \) - Vì \( f(x) \) giảm trên khoảng \( (4, 8) \), nên \( f(6) > f(8) \). Khẳng định này sai. B. \( f(8) > f(12) \) - Vì \( f(x) \) tăng trên khoảng \( (8, \infty) \), nên \( f(8) < f(12) \). Khẳng định này sai. C. \( f(-1) < f(4) \) - Vì \( f(x) \) giảm trên khoảng \( (-1, 4) \), nên \( f(-1) > f(4) \). Khẳng định này sai. D. \( f(-1) > f(8) \) - Vì \( f(x) \) giảm trên khoảng \( (-1, 4) \) và \( (4, 8) \), nên \( f(-1) > f(8) \). Khẳng định này đúng. Vậy khẳng định đúng là: \[ \boxed{D} \] Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm C. 2. Tính diện tích tam giác ABC. Bước 1: Tìm tọa độ của điểm C Vì điểm C nằm trên trục Ox và có hoành độ dương, nên tọa độ của C có dạng $(x;0;0)$ với $x > 0$. Do tam giác ABC vuông tại C, nên $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$. Tính các vectơ: - $\overrightarrow{CA} = (1 - x; 2; 0)$ - $\overrightarrow{CB} = (2 - x; -1; 1)$ Áp dụng điều kiện vuông góc: \[ (1 - x)(2 - x) + 2(-1) + 0 \cdot 1 = 0 \] \[ (1 - x)(2 - x) - 2 = 0 \] \[ 2 - x - 2x + x^2 - 2 = 0 \] \[ x^2 - 3x = 0 \] \[ x(x - 3) = 0 \] Vậy $x = 0$ hoặc $x = 3$. Vì $x > 0$, nên $x = 3$. Do đó, tọa độ của C là $(3;0;0)$. Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC: - $\overrightarrow{AB} = (2 - 1; -1 - 2; 1 - 0) = (1; -3; 1)$ - $\overrightarrow{AC} = (3 - 1; 0 - 2; 0 - 0) = (2; -2; 0)$ - $\overrightarrow{BC} = (3 - 2; 0 + 1; 0 - 1) = (1; 1; -1)$ Tính độ dài các cạnh: - $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$ - $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ - $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$ Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BC}| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6} \] Vậy đáp án đúng là: A. $\sqrt{6}$ Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. a) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2.$ - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$. Điều này đúng vì theo bảng biến thiên, hàm số giảm từ trái sang phải đến $x = 2$, sau đó tăng trở lại. b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1).$ - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số giảm trên khoảng $(0;1)$. Do đó, phát biểu này là đúng. c) Trên khoảng $(-\infty;2)$, hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và có giá trị nhỏ nhất là -2. - Trên khoảng $(-\infty;2)$, hàm số giảm từ vô cùng lớn về phía âm vô cùng cho đến khi đạt cực tiểu tại $x = 2$. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng này là giá trị của hàm số tại điểm cực đại gần nhất, nhưng không phải là giá trị 1. Giá trị nhỏ nhất cũng không phải là -2 vì hàm số tiếp tục giảm về phía âm vô cùng. Phát biểu này là sai. d) Đồ thị hàm số $y = \frac{2024}{f(x) + 1}$ có 4 đường tiệm cận. - Để xác định số lượng đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2024}{f(x) + 1}$, ta cần xem xét các trường hợp sau: - Đường tiệm cận đứng: Các giá trị của $x$ làm cho mẫu số $f(x) + 1 = 0$. - Đường tiệm cận ngang: Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng. Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số $f(x)$ có ba điểm cực trị, do đó có thể có ba giá trị của $x$ làm cho $f(x) + 1 = 0$. Điều này có nghĩa là có ba đường tiệm cận đứng. Ngoài ra, khi $x$ tiến đến vô cùng, $f(x)$ cũng tiến đến vô cùng, do đó giới hạn của $\frac{2024}{f(x) + 1}$ là 0, tạo thành một đường tiệm cận ngang. Do đó, tổng cộng có 4 đường tiệm cận (3 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang). Kết luận: - a) Đúng - b) Đúng - c) Sai - d) Đúng Vậy đáp án đúng là: a, b, d. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Kiểm tra tính chất của đạo hàm $f'(x)$: Hàm số $y = f(x) = \frac{x + a}{x + 1}$. Tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{(x + 1) - (x + a)}{(x + 1)^2} = \frac{1 - a}{(x + 1)^2}. \] Vì $(x + 1)^2 > 0$ với mọi $x \neq -1$, nên dấu của $f'(x)$ phụ thuộc vào $1 - a$. - Nếu $a < 1$, thì $1 - a > 0$, suy ra $f'(x) > 0$ với mọi $x \neq -1$. - Nếu $a > 1$, thì $1 - a < 0$, suy ra $f'(x) < 0$ với mọi $x \neq -1$. Do đó, nếu $a < 1$, thì $f'(x) > 0$ với mọi $x \neq -1$ và hàm số không có điểm cực trị. b) Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số: Đồ thị của hàm số $y = \frac{x + a}{x + 1}$ có tâm đối xứng là giao điểm của đường thẳng $y = x + 1$ và đường thẳng $y = a - 1$. Giao điểm của hai đường thẳng này là: \[ x + 1 = a - 1 \Rightarrow x = a - 2. \] \[ y = a - 1. \] Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(a - 2, a - 1)$. c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[x; 3]$: Giả sử $x = 0$ (vì không có thông tin cụ thể về $x$ trong đoạn này). Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút đoạn $[0; 3]$: \[ f(0) = \frac{0 + a}{0 + 1} = a. \] \[ f(3) = \frac{3 + a}{3 + 1} = \frac{3 + a}{4}. \] Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 3]$ là $\max(f(0), f(3))$. Nếu $a = \frac{1}{3}$, thì: \[ f(0) = \frac{1}{3}, \quad f(3) = \frac{3 + \frac{1}{3}}{4} = \frac{\frac{10}{3}}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}. \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 3]$ là $\frac{5}{6}$, đạt được khi $x = 3$. d) Số đường thẳng cắt đồ thị $f(x)$ tại những điểm tọa độ nguyên: Để tìm số đường thẳng cắt đồ thị $f(x)$ tại những điểm tọa độ nguyên, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của $x$ và $y$ sao cho $y = \frac{x + a}{x + 1}$ là số nguyên. Giả sử $y = k$ là số nguyên, thì: \[ k = \frac{x + a}{x + 1} \Rightarrow k(x + 1) = x + a \Rightarrow kx + k = x + a \Rightarrow (k - 1)x = a - k. \] Điều kiện để $x$ là số nguyên là $a - k$ chia hết cho $k - 1$. Ta xét các trường hợp: - Nếu $k = 0$, thì $x = -a$. - Nếu $k = 1$, thì $0 = a - 1 \Rightarrow a = 1$ (loại vì $a \neq 1$). - Nếu $k = 2$, thì $x = a - 2$. - Nếu $k = -1$, thì $x = \frac{a + 1}{-2}$. Vậy số đường thẳng cắt đồ thị $f(x)$ tại những điểm tọa độ nguyên là 6. Kết luận: a) Đúng nếu $a < 1$. b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(a - 2, a - 1)$. c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 3]$ là $\frac{5}{6}$, đạt được khi $x = 3$. d) Số đường thẳng cắt đồ thị $f(x)$ tại những điểm tọa độ nguyên là 6.