hãy giải hộ PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.,Câu 23. Trong hệ tọa độ Oxyz cho $\overrightarrow a=(1;-2;\frac14),~\overrightarrow b=(-2;1;1),~\overrightarrow c=3\overrightarrow i+2\overrightarrow j+4\overrightarrow k$,a) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow a\overrightarrow b,\overrightarrow c\overrightarrow b.$ Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc ?,b) Tính $\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow b),\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow i)$,Câu 24. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho 3 vectơ $\overrightarrow a=(2;5;4),~\overrightarrow b=(6;0;-3),~\overrightarrow c=(3;2;-1)$,a) Tính $(\overrightarrow a.\overrightarrow b)_{\overrightarrow c}.$,b) Tính góc giữa 2 vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b.$,Câu 25. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho 3 vectơ $\overrightarrow a=(3;2;2\sqrt3),~\overrightarrow b=(\sqrt3;2\sqrt3;-1),~\overrightarrow c=(3;2;-1)$,a) Tính $4\overrightarrow a.\overrightarrow c+\overrightarrow b^2-5\overrightarrow c^2.$,b) Tính góc giữa 2 vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b.$,Câu 26. Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba vectơ $\overrightarrow a=(2;3;-1),~\overrightarrow b=(1;-2;3),~\overrightarrow c=(2;-1;1).$ Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow u,$ biết,rằng: $\overrightarrow u\bot\overrightarrow a,~\overrightarrow u\bot\overrightarrow b,~\overrightarrow u.\overrightarrow c=-6.$,Câu 27. Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba vectơ $\overrightarrow a=(2;-1;3),~\overrightarrow b=(1;-3;2),~\overrightarrow c=(3;2;-4).$ Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow u,$ biết

Question

Accepted Answer

Câu 23.
a) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow a\overrightarrow b,\overrightarrow c\overrightarrow b.$ Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc ?
Ta có:
$\overrightarrow a\overrightarrow b=1\times (-2)+(-2)\times 1+\frac14\times 1=-\frac{15}{4}$
$\overrightarrow c\overrightarrow b=3\times (-2)+2\times 1+4\times 1=0$
Vậy $\overrightarrow c$ vuông góc với $\overrightarrow b$
b) Tính $\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow b),\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow i)$
Ta có:
$|\overrightarrow a|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(\frac14)^2}=\frac{\sqrt{69}}{4}$
$|\overrightarrow b|=\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}=\sqrt{6}$
$|\overrightarrow i|=1$
Vậy $\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow b)=\frac{\overrightarrow a\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=\frac{-\frac{15}{4}}{\frac{\sqrt{69}}{4}\times \sqrt{6}}=-\frac{5\sqrt{138}}{92}$
$\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow i)=\frac{\overrightarrow a\overrightarrow i}{|\overrightarrow a||\overrightarrow i|}=\frac{1}{\frac{\sqrt{69}}{4}\times 1}=\frac{4\sqrt{69}}{69}$

Câu 24.
a) Tính $(\overrightarrow a.\overrightarrow b)_{\overrightarrow c}.$

Ta có:

$(\overrightarrow a.\overrightarrow b)_{\overrightarrow c}=\frac{\overrightarrow a.\overrightarrow b}{|\overrightarrow a|}.\frac{\overrightarrow c}{|\overrightarrow c|}$

$\overrightarrow a.\overrightarrow b=2\times 6+5\times 0+4\times (-3)=0$

Suy ra $(\overrightarrow a.\overrightarrow b)_{\overrightarrow c}=0$

b) Tính góc giữa 2 vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b.$

Ta có:

$\cos (\overrightarrow a,\overrightarrow b)=\frac{\overrightarrow a.\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}$

$\overrightarrow a.\overrightarrow b=0$

$|\overrightarrow a|=\sqrt{2^2+5^2+4^2}=\sqrt{45}$

$|\overrightarrow b|=\sqrt{6^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{45}$

Suy ra $\cos (\overrightarrow a,\overrightarrow b)=0$

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là 90 độ.

Câu 25.
a) Tính $4\overrightarrow a.\overrightarrow c+\overrightarrow b^2-5\overrightarrow c^2.$

Ta có:

$\overrightarrow a.\overrightarrow c=3\times 3+2\times 2+2\sqrt3\times (-1)=9+4-2\sqrt3=13-2\sqrt3$

$\overrightarrow b^2=\overrightarrow b.\overrightarrow b=\sqrt3\times \sqrt3+2\sqrt3\times 2\sqrt3+(-1)\times (-1)=3+12+1=16$

$\overrightarrow c^2=\overrightarrow c.\overrightarrow c=3\times 3+2\times 2+(-1)\times (-1)=9+4+1=14$

Vậy $4\overrightarrow a.\overrightarrow c+\overrightarrow b^2-5\overrightarrow c^2=4(13-2\sqrt3)+16-5\times 14=52-8\sqrt3+16-70=-4-8\sqrt3$

b) Tính góc giữa 2 vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b.$

Ta có:

$\overrightarrow a.\overrightarrow b=3\times \sqrt3+2\times 2\sqrt3+2\sqrt3\times (-1)=3\sqrt3+4\sqrt3-2\sqrt3=5\sqrt3$

$|\overrightarrow a|=\sqrt{3^2+2^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{9+4+12}=\sqrt{25}=5$

$|\overrightarrow b|=\sqrt{(\sqrt3)^2+(2\sqrt3)^2+(-1)^2}=\sqrt{3+12+1}=\sqrt{16}=4$

Gọi góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $\theta$. Ta có:

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow a.\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|} = \frac{5\sqrt3}{5\times 4} = \frac{\sqrt3}{4}$

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)$.

Câu 26.
Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = (x, y, z)$, ta cần sử dụng các điều kiện đã cho:

1. $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{a}$, tức là $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = 0$. Điều này dẫn đến phương trình:
$$ 2x + 3y - z = 0 \quad \text{(1)} $$

2. $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{b}$, tức là $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{b} = 0$. Điều này dẫn đến phương trình:
$$ x - 2y + 3z = 0 \quad \text{(2)} $$

3. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{c} = -6$, tức là:
$$ 2x - y + z = -6 \quad \text{(3)} $$

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình (1):
$$ z = 2x + 3y \quad \text{(4)} $$

Thay (4) vào phương trình (2):
$$ x - 2y + 3(2x + 3y) = 0 $$
$$ x - 2y + 6x + 9y = 0 $$
$$ 7x + 7y = 0 $$
$$ x + y = 0 \quad \text{(5)} $$

Từ phương trình (5):
$$ y = -x \quad \text{(6)} $$

Thay (6) vào phương trình (4):
$$ z = 2x + 3(-x) $$
$$ z = 2x - 3x $$
$$ z = -x \quad \text{(7)} $$

Cuối cùng, thay (6) và (7) vào phương trình (3):
$$ 2x - (-x) + (-x) = -6 $$
$$ 2x + x - x = -6 $$
$$ 2x = -6 $$
$$ x = -3 $$

Từ đó:
$$ y = -(-3) = 3 $$
$$ z = -(-3) = 3 $$

Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là:
$$ \overrightarrow{u} = (-3, 3, 3) $$

Câu 27.
Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$, ta cần biết thêm thông tin về mối liên hệ giữa $\overrightarrow{u}$ với các vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, và $\overrightarrow{c}$. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp thêm thông tin này. Do đó, ta giả sử rằng $\overrightarrow{u}$ là một vectơ được xác định qua các vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, và $\overrightarrow{c}$ theo một phương trình hoặc mối liên hệ nào đó.

Giả sử $\overrightarrow{u}$ được xác định qua phương trình:
$$ \overrightarrow{u} = k_1 \overrightarrow{a} + k_2 \overrightarrow{b} + k_3 \overrightarrow{c} $$

Trong đó, $k_1$, $k_2$, và $k_3$ là các hằng số thực. Ta sẽ tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ dựa trên phương trình này.

Bước 1: Viết phương trình của $\overrightarrow{u}$ dưới dạng tọa độ:
$$ \overrightarrow{u} = k_1 (2, -1, 3) + k_2 (1, -3, 2) + k_3 (3, 2, -4) $$

Bước 2: Nhân các hằng số với các thành phần tương ứng của các vectơ:
$$ \overrightarrow{u} = (2k_1, -k_1, 3k_1) + (k_2, -3k_2, 2k_2) + (3k_3, 2k_3, -4k_3) $$

Bước 3: Cộng các thành phần tương ứng lại:
$$ \overrightarrow{u} = (2k_1 + k_2 + 3k_3, -k_1 - 3k_2 + 2k_3, 3k_1 + 2k_2 - 4k_3) $$

Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là:
$$ \overrightarrow{u} = (2k_1 + k_2 + 3k_3, -k_1 - 3k_2 + 2k_3, 3k_1 + 2k_2 - 4k_3) $$

Để hoàn thiện câu trả lời, ta cần biết thêm thông tin về các hằng số $k_1$, $k_2$, và $k_3$. Nếu không có thông tin cụ thể về các hằng số này, ta chỉ có thể dừng ở đây với kết quả chung như trên.