hãy giải hộ

Câu 23. a) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow a\overrightarrow b,\overrightarrow c\overrightarrow b.$ Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc ? Ta có: $\overrightarrow a\overrightarrow b=1\times (-2)+(-2)\times 1+\frac14\times 1=-\frac{15}{4}$ $\overrightarrow c\overrightarrow b=3\times (-2)+2\times 1+4\times 1=0$ Vậy $\overrightarrow c$ vuông góc với $\overrightarrow b$ b) Tính $\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow b),\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow i)$ Ta có: $|\overrightarrow a|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(\frac14)^2}=\frac{\sqrt{69}}{4}$ $|\overrightarrow b|=\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}=\sqrt{6}$ $|\overrightarrow i|=1$ Vậy $\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow b)=\frac{\overrightarrow a\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=\frac{-\frac{15}{4}}{\frac{\sqrt{69}}{4}\times \sqrt{6}}=-\frac{5\sqrt{138}}{92}$ $\cos(\overrightarrow a,\overrightarrow i)=\frac{\overrightarrow a\overrightarrow i}{|\overrightarrow a||\overrightarrow i|}=\frac{1}{\frac{\sqrt{69}}{4}\times 1}=\frac{4\sqrt{69}}{69}$ Câu 24. a) Tính $(\overrightarrow a.\overrightarrow b)_{\overrightarrow c}.$ Ta có: $(\overrightarrow a.\overrightarrow b)_{\overrightarrow c}=\frac{\overrightarrow a.\overrightarrow b}{|\overrightarrow a|}.\frac{\overrightarrow c}{|\overrightarrow c|}$ $\overrightarrow a.\overrightarrow b=2\times 6+5\times 0+4\times (-3)=0$ Suy ra $(\overrightarrow a.\overrightarrow b)_{\overrightarrow c}=0$ b) Tính góc giữa 2 vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b.$ Ta có: $\cos (\overrightarrow a,\overrightarrow b)=\frac{\overrightarrow a.\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}$ $\overrightarrow a.\overrightarrow b=0$ $|\overrightarrow a|=\sqrt{2^2+5^2+4^2}=\sqrt{45}$ $|\overrightarrow b|=\sqrt{6^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{45}$ Suy ra $\cos (\overrightarrow a,\overrightarrow b)=0$ Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là 90 độ. Câu 25. a) Tính $4\overrightarrow a.\overrightarrow c+\overrightarrow b^2-5\overrightarrow c^2.$ Ta có: $\overrightarrow a.\overrightarrow c=3\times 3+2\times 2+2\sqrt3\times (-1)=9+4-2\sqrt3=13-2\sqrt3$ $\overrightarrow b^2=\overrightarrow b.\overrightarrow b=\sqrt3\times \sqrt3+2\sqrt3\times 2\sqrt3+(-1)\times (-1)=3+12+1=16$ $\overrightarrow c^2=\overrightarrow c.\overrightarrow c=3\times 3+2\times 2+(-1)\times (-1)=9+4+1=14$ Vậy $4\overrightarrow a.\overrightarrow c+\overrightarrow b^2-5\overrightarrow c^2=4(13-2\sqrt3)+16-5\times 14=52-8\sqrt3+16-70=-4-8\sqrt3$ b) Tính góc giữa 2 vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b.$ Ta có: $\overrightarrow a.\overrightarrow b=3\times \sqrt3+2\times 2\sqrt3+2\sqrt3\times (-1)=3\sqrt3+4\sqrt3-2\sqrt3=5\sqrt3$ $|\overrightarrow a|=\sqrt{3^2+2^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{9+4+12}=\sqrt{25}=5$ $|\overrightarrow b|=\sqrt{(\sqrt3)^2+(2\sqrt3)^2+(-1)^2}=\sqrt{3+12+1}=\sqrt{16}=4$ Gọi góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $\theta$. Ta có: $\cos \theta = \frac{\overrightarrow a.\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|} = \frac{5\sqrt3}{5\times 4} = \frac{\sqrt3}{4}$ Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)$. Câu 26. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = (x, y, z)$, ta cần sử dụng các điều kiện đã cho: 1. $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{a}$, tức là $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = 0$. Điều này dẫn đến phương trình: \[ 2x + 3y - z = 0 \quad \text{(1)} \] 2. $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{b}$, tức là $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{b} = 0$. Điều này dẫn đến phương trình: \[ x - 2y + 3z = 0 \quad \text{(2)} \] 3. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{c} = -6$, tức là: \[ 2x - y + z = -6 \quad \text{(3)} \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này. Từ phương trình (1): \[ z = 2x + 3y \quad \text{(4)} \] Thay (4) vào phương trình (2): \[ x - 2y + 3(2x + 3y) = 0 \] \[ x - 2y + 6x + 9y = 0 \] \[ 7x + 7y = 0 \] \[ x + y = 0 \quad \text{(5)} \] Từ phương trình (5): \[ y = -x \quad \text{(6)} \] Thay (6) vào phương trình (4): \[ z = 2x + 3(-x) \] \[ z = 2x - 3x \] \[ z = -x \quad \text{(7)} \] Cuối cùng, thay (6) và (7) vào phương trình (3): \[ 2x - (-x) + (-x) = -6 \] \[ 2x + x - x = -6 \] \[ 2x = -6 \] \[ x = -3 \] Từ đó: \[ y = -(-3) = 3 \] \[ z = -(-3) = 3 \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là: \[ \overrightarrow{u} = (-3, 3, 3) \] Câu 27. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$, ta cần biết thêm thông tin về mối liên hệ giữa $\overrightarrow{u}$ với các vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, và $\overrightarrow{c}$. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp thêm thông tin này. Do đó, ta giả sử rằng $\overrightarrow{u}$ là một vectơ được xác định qua các vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, và $\overrightarrow{c}$ theo một phương trình hoặc mối liên hệ nào đó. Giả sử $\overrightarrow{u}$ được xác định qua phương trình: \[ \overrightarrow{u} = k_1 \overrightarrow{a} + k_2 \overrightarrow{b} + k_3 \overrightarrow{c} \] Trong đó, $k_1$, $k_2$, và $k_3$ là các hằng số thực. Ta sẽ tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ dựa trên phương trình này. Bước 1: Viết phương trình của $\overrightarrow{u}$ dưới dạng tọa độ: \[ \overrightarrow{u} = k_1 (2, -1, 3) + k_2 (1, -3, 2) + k_3 (3, 2, -4) \] Bước 2: Nhân các hằng số với các thành phần tương ứng của các vectơ: \[ \overrightarrow{u} = (2k_1, -k_1, 3k_1) + (k_2, -3k_2, 2k_2) + (3k_3, 2k_3, -4k_3) \] Bước 3: Cộng các thành phần tương ứng lại: \[ \overrightarrow{u} = (2k_1 + k_2 + 3k_3, -k_1 - 3k_2 + 2k_3, 3k_1 + 2k_2 - 4k_3) \] Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là: \[ \overrightarrow{u} = (2k_1 + k_2 + 3k_3, -k_1 - 3k_2 + 2k_3, 3k_1 + 2k_2 - 4k_3) \] Để hoàn thiện câu trả lời, ta cần biết thêm thông tin về các hằng số $k_1$, $k_2$, và $k_3$. Nếu không có thông tin cụ thể về các hằng số này, ta chỉ có thể dừng ở đây với kết quả chung như trên.