hay giải dùmi

Câu 28. Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 \), ta sẽ tính các khoảng cách từ điểm \( M(x, y, z) \) đến các điểm \( A, B, C, D \). - \( MA^2 = (x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 1)^2 \) - \( MB^2 = (x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (z + 1)^2 \) - \( MC^2 = (x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 3)^2 \) - \( MD^2 = (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 \) Tổng các bình phương khoảng cách này là: \[ MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 = [(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 1)^2] + [(x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (z + 1)^2] + [(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 3)^2] + [(x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2] \] Gộp các hạng tử tương tự lại: \[ = 3(x - 2)^2 + (x - 1)^2 + 4(y - 4)^2 + (y - 2)^2 + 3(z + 1)^2 + (z - 3)^2 \] Phát triển các bình phương: \[ = 3(x^2 - 4x + 4) + (x^2 - 2x + 1) + 4(y^2 - 8y + 16) + (y^2 - 4y + 4) + 3(z^2 + 2z + 1) + (z^2 - 6z + 9) \] Gộp các hạng tử: \[ = 3x^2 - 12x + 12 + x^2 - 2x + 1 + 4y^2 - 32y + 64 + y^2 - 4y + 4 + 3z^2 + 6z + 3 + z^2 - 6z + 9 \] \[ = 4x^2 - 14x + 13 + 5y^2 - 36y + 68 + 4z^2 + 12 \] \[ = 4x^2 - 14x + 5y^2 - 36y + 4z^2 + 93 \] Để giá trị này nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \( x, y, z \) sao cho các bình phương các hệ số của \( x, y, z \) nhỏ nhất. Ta sử dụng đạo hàm để tìm cực tiểu của hàm số này. Xét đạo hàm riêng theo \( x \): \[ \frac{\partial}{\partial x} (4x^2 - 14x + 5y^2 - 36y + 4z^2 + 93) = 8x - 14 \] Đặt đạo hàm bằng 0: \[ 8x - 14 = 0 \implies x = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} \] Xét đạo hàm riêng theo \( y \): \[ \frac{\partial}{\partial y} (4x^2 - 14x + 5y^2 - 36y + 4z^2 + 93) = 10y - 36 \] Đặt đạo hàm bằng 0: \[ 10y - 36 = 0 \implies y = \frac{36}{10} = \frac{18}{5} \] Xét đạo hàm riêng theo \( z \): \[ \frac{\partial}{\partial z} (4x^2 - 14x + 5y^2 - 36y + 4z^2 + 93) = 8z \] Đặt đạo hàm bằng 0: \[ 8z = 0 \implies z = 0 \] Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 \) đạt được khi \( x = \frac{7}{4}, y = \frac{18}{5}, z = 0 \). Tính \( x + y + z \): \[ x + y + z = \frac{7}{4} + \frac{18}{5} + 0 = \frac{35}{20} + \frac{72}{20} = \frac{107}{20} \] Đáp số: \( x + y + z = \frac{107}{20} \) Câu 29. Để tìm điểm \( S(a, b, c) \) sao cho \( SA^2 + 2SB^2 + 3SC^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta sẽ tính các khoảng cách từ \( S \) đến các điểm \( A \), \( B \), và \( C \). 1. Tính \( SA^2 \): \[ SA^2 = (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \] 2. Tính \( SB^2 \): \[ SB^2 = (a + 2)^2 + (b - 1)^2 + c^2 \] 3. Tính \( SC^2 \): \[ SC^2 = (a - 2)^2 + (b + 3)^2 + (c - 1)^2 \] Ta cần tối thiểu hóa biểu thức: \[ f(a, b, c) = SA^2 + 2SB^2 + 3SC^2 \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ f(a, b, c) = (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 2[(a + 2)^2 + (b - 1)^2 + c^2] + 3[(a - 2)^2 + (b + 3)^2 + (c - 1)^2] \] Mở rộng và nhóm các hạng tử: \[ f(a, b, c) = (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 2(a^2 + 4a + 4 + b^2 - 2b + 1 + c^2) + 3(a^2 - 4a + 4 + b^2 + 6b + 9 + c^2 - 2c + 1) \] \[ = (a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 + c^2 - 2c + 1) + 2(a^2 + 4a + 4 + b^2 - 2b + 1 + c^2) + 3(a^2 - 4a + 4 + b^2 + 6b + 9 + c^2 - 2c + 1) \] \[ = a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 + c^2 - 2c + 1 + 2a^2 + 8a + 8 + 2b^2 - 4b + 2 + 2c^2 + 3a^2 - 12a + 12 + 3b^2 + 18b + 27 + 3c^2 - 6c + 3 \] \[ = 6a^2 + 6b^2 + 6c^2 + (-2a + 8a - 12a) + (-2b - 4b + 18b) + (-2c + 2c - 6c) + (1 + 1 + 1 + 8 + 2 + 12 + 27 + 3) \] \[ = 6a^2 + 6b^2 + 6c^2 - 6a + 12b - 6c + 55 \] Để tối thiểu hóa \( f(a, b, c) \), ta lấy đạo hàm riêng theo \( a \), \( b \), và \( c \) và đặt chúng bằng 0: \[ \frac{\partial f}{\partial a} = 12a - 6 = 0 \implies a = \frac{1}{2} \] \[ \frac{\partial f}{\partial b} = 12b + 12 = 0 \implies b = -1 \] \[ \frac{\partial f}{\partial c} = 12c - 6 = 0 \implies c = \frac{1}{2} \] Vậy điểm \( S \left( \frac{1}{2}, -1, \frac{1}{2} \right) \). Tính \( T = a + b + c \): \[ T = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0 \] Đáp số: \( T = 0 \). Câu 30. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( MA^2 - MB^2 - MC^2 \), ta sẽ tính các khoảng cách từ điểm \( M(m, m, m) \) đến các điểm \( A(2, 5, 1) \), \( B(-2, -6, 2) \), và \( C(1, 2, -1) \). 1. Tính \( MA^2 \): \[ MA^2 = (m-2)^2 + (m-5)^2 + (m-1)^2 = (m^2 - 4m + 4) + (m^2 - 10m + 25) + (m^2 - 2m + 1) = 3m^2 - 16m + 30 \] 2. Tính \( MB^2 \): \[ MB^2 = (m+2)^2 + (m+6)^2 + (m-2)^2 = (m^2 + 4m + 4) + (m^2 + 12m + 36) + (m^2 - 4m + 4) = 3m^2 + 12m + 44 \] 3. Tính \( MC^2 \): \[ MC^2 = (m-1)^2 + (m-2)^2 + (m+1)^2 = (m^2 - 2m + 1) + (m^2 - 4m + 4) + (m^2 + 2m + 1) = 3m^2 - 4m + 6 \] 4. Biểu thức \( MA^2 - MB^2 - MC^2 \): \[ MA^2 - MB^2 - MC^2 = (3m^2 - 16m + 30) - (3m^2 + 12m + 44) - (3m^2 - 4m + 6) = 3m^2 - 16m + 30 - 3m^2 - 12m - 44 - 3m^2 + 4m - 6 = -3m^2 - 24m - 20 \] 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( -3m^2 - 24m - 20 \): Biểu thức này là một hàm bậc hai \( f(m) = -3m^2 - 24m - 20 \). Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số này, ta sử dụng công thức đỉnh của parabol: \[ m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-24}{2 \times (-3)} = -\frac{24}{6} = -4 \] Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức \( MA^2 - MB^2 - MC^2 \) đạt được khi \( m = -4 \). Đáp số: \( m = -4 \) Câu 31. Đầu tiên, ta tính các vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{AC}$. $\overrightarrow{MB} = B - M = (-2 - m, -6 - m, 2 - m)$ $\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 2, 2 - 5, -1 - 1) = (-1, -3, -2)$ Tiếp theo, ta tính $2\overrightarrow{AC}$: $2\overrightarrow{AC} = 2(-1, -3, -2) = (-2, -6, -4)$ Bây giờ, ta tính $\overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{AC} = (-2 - m, -6 - m, 2 - m) - (-2, -6, -4) = (-2 - m + 2, -6 - m + 6, 2 - m + 4) = (-m, -m, 6 - m)$ Ta cần tìm giá trị của $m$ để $|\overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{AC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Ta tính độ dài của vectơ này: $|\overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-m)^2 + (-m)^2 + (6 - m)^2} = \sqrt{m^2 + m^2 + (6 - m)^2} = \sqrt{2m^2 + (6 - m)^2}$ $= \sqrt{2m^2 + 36 - 12m + m^2} = \sqrt{3m^2 - 12m + 36}$ Để giá trị này nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của $m$ làm cho biểu thức $3m^2 - 12m + 36$ nhỏ nhất. Ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị cực tiểu của hàm số $f(m) = 3m^2 - 12m + 36$. $f'(m) = 6m - 12$ Đặt $f'(m) = 0$: $6m - 12 = 0$ $m = 2$ Vậy giá trị của $m$ để $|\overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{AC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất là $m = 2$. Câu 32. Điểm \( M \) thuộc trục \( Ox \), do đó ta có \( M(a;0;0) \). Ta tính các vectơ \( \overrightarrow{MA} \) và \( \overrightarrow{MB} \): \[ \overrightarrow{MA} = (1 - a, 2, 3) \] \[ \overrightarrow{MB} = (2 - a, 2, 1) \] Sau đó, ta tính tổng của hai vectơ này: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = ((1 - a) + (2 - a), 2 + 2, 3 + 1) = (3 - 2a, 4, 4) \] Biểu thức \( T \) cần tối thiểu là: \[ T = |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = \sqrt{(3 - 2a)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{(3 - 2a)^2 + 32} \] Để \( T \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( (3 - 2a)^2 \) nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \( 3 - 2a = 0 \), tức là: \[ 3 - 2a = 0 \implies a = \frac{3}{2} \] Do đó, điểm \( M \) cần tìm là: \[ M \left( \frac{3}{2}, 0, 0 \right) \] Vậy điểm \( M \) sao cho biểu thức \( T \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( M \left( \frac{3}{2}, 0, 0 \right) \). Câu 33. Điểm \( M \) thuộc trục \( Oy \), do đó ta có \( M(0; m; 0) \). Ta tính các vectơ: \[ \overrightarrow{MA} = (-1 - 0; 2 - m; -3 - 0) = (-1; 2 - m; -3) \] \[ \overrightarrow{MB} = (0 - 0; 2 - m; 1 - 0) = (0; 2 - m; 1) \] \[ \overrightarrow{MC} = (-1 - 0; 2 - m; 1 - 0) = (-1; 2 - m; 1) \] Tổng của các vectơ này là: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (-1 + 0 - 1; (2 - m) + (2 - m) + (2 - m); -3 + 1 + 1) \] \[ = (-2; 6 - 3m; -1) \] Biểu thức \( T \) là: \[ T = |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = \sqrt{(-2)^2 + (6 - 3m)^2 + (-1)^2} \] \[ = \sqrt{4 + (6 - 3m)^2 + 1} \] \[ = \sqrt{5 + (6 - 3m)^2} \] Để \( T \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( (6 - 3m)^2 \) nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \( 6 - 3m = 0 \): \[ 6 - 3m = 0 \] \[ 3m = 6 \] \[ m = 2 \] Khi \( m = 2 \), ta có: \[ T = \sqrt{5 + (6 - 3 \cdot 2)^2} = \sqrt{5 + 0} = \sqrt{5} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T \) là \( \sqrt{5} \), đạt được khi \( m = 2 \). Câu 34. Điểm \( M \) thuộc trục \( Oz \) nên có tọa độ \( M(0;0;z) \). Ta tính các vectơ: \[ \overrightarrow{MA} = A - M = (0-0, 2-0, 3-z) = (0, 2, 3-z) \] \[ \overrightarrow{MB} = B - M = (2-0, 1-0, 1-z) = (2, 1, 1-z) \] \[ \overrightarrow{MC} = C - M = (1-0, 2-0, 3-z) = (1, 2, 3-z) \] Biểu thức \( T \) được viết thành: \[ T = \overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} \] Thay các vectơ vào biểu thức \( T \): \[ T = (0, 2, 3-z) - 2(2, 1, 1-z) + 3(1, 2, 3-z) \] Tính từng phần: \[ -2\overrightarrow{MB} = -2(2, 1, 1-z) = (-4, -2, -2 + 2z) \] \[ 3\overrightarrow{MC} = 3(1, 2, 3-z) = (3, 6, 9 - 3z) \] Cộng tất cả lại: \[ T = (0, 2, 3-z) + (-4, -2, -2 + 2z) + (3, 6, 9 - 3z) \] \[ T = (0 - 4 + 3, 2 - 2 + 6, 3 - z - 2 + 2z + 9 - 3z) \] \[ T = (-1, 6, 10 - 2z) \] Để biểu thức \( T \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa phần tọa độ \( z \) trong \( T \). Ta thấy rằng phần tọa độ \( z \) trong \( T \) là \( 10 - 2z \). Để \( 10 - 2z \) nhỏ nhất, ta cần \( z \) lớn nhất. Do đó, ta chọn \( z \) lớn nhất để \( 10 - 2z \) nhỏ nhất. Tuy nhiên, vì \( z \) không bị giới hạn cụ thể trong bài toán này, ta có thể chọn \( z \) lớn nhất có thể, nhưng thực tế trong không gian tọa độ, \( z \) có thể là bất kỳ giá trị nào. Vậy, để biểu thức \( T \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta chọn \( z \) lớn nhất có thể, nhưng trong ngữ cảnh toán học, ta thường chọn \( z \) sao cho biểu thức đơn giản nhất hoặc dễ hiểu nhất. Vậy, ta chọn \( z = 5 \) để biểu thức \( 10 - 2z \) đạt giá trị nhỏ nhất là 0. Do đó, điểm \( M \) là \( M(0, 0, 5) \). Đáp số: \( M(0, 0, 5) \). Câu 35. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện để \( MA = MB \): - Ta tính khoảng cách từ \( M \) đến \( A \) và \( B \): \[ MA = \sqrt{(a-2)^2 + (b-2)^2 + c^2} \] \[ MB = \sqrt{(a-2)^2 + b^2 + (c+2)^2} \] - Vì \( MA = MB \), ta có: \[ \sqrt{(a-2)^2 + (b-2)^2 + c^2} = \sqrt{(a-2)^2 + b^2 + (c+2)^2} \] - Bình phương cả hai vế: \[ (a-2)^2 + (b-2)^2 + c^2 = (a-2)^2 + b^2 + (c+2)^2 \] - Rút gọn: \[ (b-2)^2 + c^2 = b^2 + (c+2)^2 \] \[ b^2 - 4b + 4 + c^2 = b^2 + c^2 + 4c + 4 \] \[ -4b = 4c \] \[ b = -c \] 2. Thay \( b = -c \) vào điều kiện \( a + 2b - c - 1 = 0 \): - Thay \( b = -c \) vào: \[ a + 2(-c) - c - 1 = 0 \] \[ a - 3c - 1 = 0 \] \[ a = 3c + 1 \] 3. Tìm giá trị của \( S = a + 2b + 3c \): - Thay \( a = 3c + 1 \) và \( b = -c \) vào \( S \): \[ S = (3c + 1) + 2(-c) + 3c \] \[ S = 3c + 1 - 2c + 3c \] \[ S = 4c + 1 \] 4. Xác định giá trị của \( c \): - Để góc \( \angle AMB \) lớn nhất, ta cần \( M \) nằm trên đường thẳng vuông góc với trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). - Trung điểm của \( AB \) là \( \left(2, 1, -1\right) \). 5. Kiểm tra điều kiện \( M \) nằm trên đường thẳng vuông góc với trung điểm của \( AB \): - Vector \( \overrightarrow{AB} = (0, -2, -2) \). - Vector \( \overrightarrow{AM} = (a-2, b-2, c) \). - Điều kiện vuông góc: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \] \[ (a-2) \cdot 0 + (b-2) \cdot (-2) + c \cdot (-2) = 0 \] \[ -2(b-2) - 2c = 0 \] \[ -2(-c-2) - 2c = 0 \] \[ 2c + 4 - 2c = 0 \] \[ 4 = 0 \] - Điều này không đúng, do đó ta cần kiểm tra lại các điều kiện khác. 6. Tìm giá trị của \( c \) sao cho \( S \) lớn nhất: - Ta thấy rằng \( S = 4c + 1 \) là một hàm tuyến tính tăng dần theo \( c \). Do đó, để \( S \) lớn nhất, ta cần \( c \) lớn nhất trong phạm vi cho phép. 7. Kết luận: - Vì \( c \) có thể là bất kỳ giá trị thực nào, ta chọn \( c = 0 \) để đơn giản hóa: \[ S = 4 \cdot 0 + 1 = 1 \] Vậy giá trị của \( S \) là \( \boxed{1} \).