cần giải đáp

Câu 12: Trước tiên, ta cần hiểu rằng tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MO}$ được xác định dựa trên tọa độ của điểm M và gốc tọa độ O. Ta có: \[ \overrightarrow{MO} = 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \] Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow{MO} = (-3, 2, 1) \] Tọa độ của điểm O là (0, 0, 0). Do đó, tọa độ của điểm M sẽ là: \[ M = O + \overrightarrow{MO} = (0, 0, 0) + (-3, 2, 1) = (-3, 2, 1) \] Vậy tọa độ của điểm M là: \[ M(-3, 2, 1) \] Đáp án đúng là: C. $~M(-3;2;1).$ Đáp số: C. $~M(-3;2;1).$ Câu 1: a) Ta có $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = (\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) + (\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{D_1C})$. Do $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1A} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A_1D_1} = \overrightarrow{0}$, ta có: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{D_1C} = 2\overrightarrow{AC}$. Vậy mệnh đề này đúng. b) Ta có $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CA_1} + 2\overrightarrow{C_1C} = (\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) + (\overrightarrow{CA_1} + 2\overrightarrow{C_1C})$. Do $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{0}$, ta có: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CA_1} + 2\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{0}$. Vậy mệnh đề này đúng. c) Ta có $\overrightarrow{CA_1} + \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{CA_1} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{CC_1}$. Vậy mệnh đề này đúng. d) Ta có $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{A_1D_1}$. Vậy mệnh đề này đúng. Đáp số: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng. Câu 2: a) Chiều cao trung bình của mỗi cây do hai bạn Hùng và Vương trồng không bằng nhau. Ta tính chiều cao trung bình của mỗi cây do bạn Hùng trồng: \begin{align} \bar{x}_H &= \frac{(20 + 25) \times 2 + (25 + 30) \times 16 + (30 + 35) \times 20 + (35 + 40) \times 2}{40} \\ &= \frac{45 \times 2 + 55 \times 16 + 65 \times 20 + 75 \times 2}{40} \\ &= \frac{90 + 880 + 1300 + 150}{40} \\ &= \frac{2420}{40} \\ &= 60.5 \text{ cm} \end{align} Ta tính chiều cao trung bình của mỗi cây do bạn Vương trồng: \begin{align} \bar{x}_V &= \frac{(20 + 25) \times 5 + (25 + 30) \times 9 + (30 + 35) \times 25 + (35 + 40) \times 1}{40} \\ &= \frac{45 \times 5 + 55 \times 9 + 65 \times 25 + 75 \times 1}{40} \\ &= \frac{225 + 495 + 1625 + 75}{40} \\ &= \frac{2420}{40} \\ &= 60.5 \text{ cm} \end{align} Chiều cao trung bình của mỗi cây do hai bạn Hùng và Vương trồng là bằng nhau, đều là 60.5 cm. Vậy phát biểu này sai. b) Khoảng biến thiên của cả hai mẫu số liệu trên là 20. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ở bảng 1 là: \[ 40 - 20 = 20 \text{ cm} \] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ở bảng 2 là: \[ 40 - 20 = 20 \text{ cm} \] Khoảng biến thiên của cả hai mẫu số liệu trên là 20. Phát biểu này đúng. c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở bảng 1 là 5,5. Ta tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở bảng 1: - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) nằm trong nhóm [25; 30). - Tứ phân vị thứ ba (Q3) nằm trong nhóm [30; 35). Tính Q1: \[ Q1 = 25 + \left( \frac{10 - 2}{16} \right) \times 5 = 25 + \frac{8}{16} \times 5 = 25 + 2.5 = 27.5 \text{ cm} \] Tính Q3: \[ Q3 = 30 + \left( \frac{30 - 36}{20} \right) \times 5 = 30 + \frac{4}{20} \times 5 = 30 + 1 = 31 \text{ cm} \] Khoảng tứ phân vị: \[ Q3 - Q1 = 31 - 27.5 = 3.5 \text{ cm} \] Phát biểu này sai vì khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở bảng 1 là 3.5 cm, không phải 5.5 cm. d) Chiều cao của các cây mà bạn Vương trồng đồng đều hơn các cây mà bạn Hùng trồng. Ta tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở bảng 1: \begin{align} s_H &= \sqrt{\frac{(22.5 - 60.5)^2 \times 2 + (27.5 - 60.5)^2 \times 16 + (32.5 - 60.5)^2 \times 20 + (37.5 - 60.5)^2 \times 2}{40}} \\ &= \sqrt{\frac{(-38)^2 \times 2 + (-33)^2 \times 16 + (-28)^2 \times 20 + (-23)^2 \times 2}{40}} \\ &= \sqrt{\frac{1444 + 17424 + 15680 + 1058}{40}} \\ &= \sqrt{\frac{35506}{40}} \\ &= \sqrt{887.65} \\ &\approx 29.8 \text{ cm} \end{align} Ta tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở bảng 2: \begin{align} s_V &= \sqrt{\frac{(22.5 - 60.5)^2 \times 5 + (27.5 - 60.5)^2 \times 9 + (32.5 - 60.5)^2 \times 25 + (37.5 - 60.5)^2 \times 1}{40}} \\ &= \sqrt{\frac{(-38)^2 \times 5 + (-33)^2 \times 9 + (-28)^2 \times 25 + (-23)^2 \times 1}{40}} \\ &= \sqrt{\frac{7220 + 9801 + 19600 + 529}{40}} \\ &= \sqrt{\frac{36150}{40}} \\ &= \sqrt{903.75} \\ &\approx 30.06 \text{ cm} \end{align} Do độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở bảng 2 lớn hơn độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở bảng 1, nên chiều cao của các cây mà bạn Hùng trồng đồng đều hơn các cây mà bạn Vương trồng. Phát biểu này sai. Đáp án: b) Khoảng biến thiên của cả hai mẫu số liệu trên là 20.