trắc nghiệm đúng sai

Câu 1: Để giải quyết các khẳng định về hàm số $y = f(x)$ dựa vào đồ thị của đạo hàm $y = f'(x)$, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -2)$. - Trên khoảng $(-\infty; -2)$, đồ thị của $y = f'(x)$ nằm phía trên trục hoành, tức là $f'(x) > 0$. Điều này chứng tỏ rằng $y = f(x)$ là hàm số đồng biến trên khoảng này. - Kết luận: Đúng. Khẳng định b) Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị. - Đồ thị của $y = f'(x)$ cắt trục hoành tại ba điểm, tương ứng với ba nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$. Tuy nhiên, chỉ có hai trong số ba điểm này là điểm cực trị của hàm số $y = f(x)$ vì: - Điểm cực đại xảy ra khi $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm. - Điểm cực tiểu xảy ra khi $f'(x)$ chuyển từ âm sang dương. - Kết luận: Đúng. Khẳng định c) $f'(2) = 4$. - Từ đồ thị, ta thấy rằng tại điểm $x = 2$, giá trị của $f'(x)$ là 4. - Kết luận: Đúng. Khẳng định d) Hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{2}x^2 + x + 2024$ đồng biến trên khoảng $(-\frac{5}{2}; -\frac{3}{2})$. - Để kiểm tra tính đồng biến của $g(x)$, ta cần tính đạo hàm của $g(x)$: \[ g'(x) = f'(x) - x + 1 \] - Trên khoảng $(-\frac{5}{2}; -\frac{3}{2})$, ta cần kiểm tra dấu của $g'(x)$: - Từ đồ thị, ta thấy rằng trên khoảng $(-\frac{5}{2}; -\frac{3}{2})$, giá trị của $f'(x)$ là dương và lớn hơn 0. - Ta cũng biết rằng $-x + 1$ là một hàm tuyến tính giảm dần, nhưng trên khoảng này nó vẫn giữ giá trị dương. - Do đó, tổng của $f'(x)$ và $-x + 1$ sẽ là dương, tức là $g'(x) > 0$ trên khoảng này. - Kết luận: Đúng. Tổng kết: - Khẳng định a) Đúng. - Khẳng định b) Đúng. - Khẳng định c) Đúng. - Khẳng định d) Đúng. Câu 2: a) Đúng vì tại $x = -2$ và $x = 2$, đồ thị hàm số có giao điểm với trục tung và có dạng "góc nhọn", do đó không tồn tại đạo hàm tại hai điểm này. b) Sai vì đồ thị hàm số chỉ có hai điểm cực trị, cụ thể là tại $x = -2$ và $x = 2$. c) Sai vì giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ là -2, nhưng nó đạt được tại $x = -2$ và $x = 2$, không phải tại $x = 0$. d) Đúng vì đồ thị hàm số không có điểm cao nhất, tức là không có giá trị lớn nhất. Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng. Câu 3: Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên tính chất và phương pháp phân tích đồ thị hàm số. a) Số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là bằng nhau Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 + 4x - 1}{x - 1} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \frac{(x^2 + 4x - 1)'(x - 1) - (x^2 + 4x - 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(2x + 4)(x - 1) - (x^2 + 4x - 1)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 2x - 4 - x^2 - 4x + 1}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] Phân tích \( f'(x) \) để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến: \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Từ đây, ta thấy rằng \( f'(x) > 0 \) khi \( x < -1 \) hoặc \( x > 3 \), và \( f'(x) < 0 \) khi \( -1 < x < 3 \) (trừ \( x = 1 \)). Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (3, +\infty) \), và nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \) và \( (1, 3) \). Số khoảng đồng biến và nghịch biến không bằng nhau, nên khẳng định này là sai. b) Hàm số \( f(x) \) đạt cực đại tại điểm có tọa độ \( (-1; 2) \) Ta đã tìm được đạo hàm \( f'(x) \) và thấy rằng \( f'(x) = 0 \) khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 3 \). Kiểm tra dấu của \( f'(x) \) ở các điểm này: - Khi \( x < -1 \), \( f'(x) > 0 \) - Khi \( -1 < x < 1 \), \( f'(x) < 0 \) Do đó, hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \). Ta tính giá trị của hàm số tại điểm này: \[ f(-1) = \frac{(-1)^2 + 4(-1) - 1}{-1 - 1} = \frac{1 - 4 - 1}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2 \] Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \( (-1; 2) \), nên khẳng định này là đúng. c) Đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( f(x) \) Đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng nếu \( \lim_{x \to 1} f(x) = \pm \infty \). Ta kiểm tra giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 4x - 1}{x - 1} \] Khi \( x \to 1 \), mẫu số \( x - 1 \) tiến đến 0, trong khi tử số \( x^2 + 4x - 1 \) tiến đến 4. Do đó: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 4x - 1}{x - 1} = \infty \] Vậy đường thẳng \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng, nên khẳng định này là đúng. d) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( f(x) \) là \( y = 2x + 5 \) Để tìm đường tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 + 4x - 1}{x - 1} = x + 5 + \frac{4}{x - 1} \] Khi \( x \to \infty \), phần dư \( \frac{4}{x - 1} \) tiến đến 0, do đó: \[ f(x) \approx x + 5 \] Vậy đường tiệm cận xiên là \( y = x + 5 \), không phải \( y = 2x + 5 \). Do đó, khẳng định này là sai. Kết luận: - a) Sai - b) Đúng - c) Đúng - d) Sai Câu 4: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho. Mệnh đề a) Khi vận tốc \( v = 10 \, \text{km/giờ} \), chi phí nhiên liệu cho phần thứ nhất trên 1 giờ là 480 nghìn đồng. Để tìm chi phí nhiên liệu cho phần thứ nhất trên 1 km đường sông, ta thực hiện phép chia: \[ \text{Chi phí nhiên liệu cho phần thứ nhất trên 1 km} = \frac{480 \, \text{nghìn đồng}}{10 \, \text{km}} = 48 \, \text{nghìn đồng/km} = 48000 \, \text{đồng/km}. \] Vậy mệnh đề a) là đúng. Mệnh đề b) Phần thứ hai của chi phí nhiên liệu tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc. Khi \( v = 10 \, \text{km/giờ} \), phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng/giờ. Ta có: \[ f_2(v) = k \cdot v^3 \] \[ 30 = k \cdot 10^3 \] \[ k = \frac{30}{1000} = 0,03 \] Do đó, hàm số xác định tổng chi phí nhiên liệu trên 1 giờ là: \[ f(v) = 480 + 0,03v^3 \] Tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường sông là: \[ f(x) = \frac{480}{x} + 0,03x^3 \] Vậy mệnh đề b) là đúng. Mệnh đề c) Khi vận tốc \( v = 30 \, \text{km/giờ} \), ta thay vào hàm số: \[ f(30) = \frac{480}{30} + 0,03 \cdot 30^3 \] \[ f(30) = 16 + 0,03 \cdot 27000 \] \[ f(30) = 16 + 810 \] \[ f(30) = 826 \, \text{nghìn đồng/km} = 826000 \, \text{đồng/km} \] Vậy mệnh đề c) là sai vì tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường sông là 826000 đồng, không phải 43000 đồng. Kết luận - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai.