mọi người giúp tôi làm bài trong ảnh với Tìm x để $A=\frac{4\sqrt x}{\sqrt x+1}$ đạt giá trị nguyên

Question

Accepted Answer

$\displaystyle A\ =\ \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \ +\ 1}$
Ta thấy $\displaystyle \sqrt{x} \ \geqslant \ 0$ và $\displaystyle \sqrt{x} \ +\ 1\ \geqslant \ 1\ >\ 0$ nên $\displaystyle \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \ +\ 1} \ \geqslant \ 0$
$\displaystyle A\ =\ \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \ +\ 1} \ =\ \frac{4\left(\sqrt{x} \ +\ 1\right) \ -\ 4}{\sqrt{x} \ +\ 1} \ =\ 4\ -\ \frac{4}{\sqrt{x} \ +\ 1} \ \leqslant \ 4$
Vậy $\displaystyle 0\ \leqslant \ A\ \leqslant \ 4$
$\displaystyle A\ =\ 0$ thì $\displaystyle x\ =\ 0$
$\displaystyle A\ =\ 1$ thì $\displaystyle \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \ +\ 1} \ =\ 1$, tức là $\displaystyle 4\sqrt{x} \ =\ \sqrt{x} \ +\ 1$, nên $\displaystyle \sqrt{x} \ =\ \frac{1}{3}$ suy ra $\displaystyle x\ =\ \frac{1}{9}$
$\displaystyle A\ =\ 2$ thì $\displaystyle \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \ +\ 1} \ =\ 2$, tức là $\displaystyle 4\sqrt{x} \ =\ 2\sqrt{x} \ +\ 2$, nên $\displaystyle \sqrt{x} \ =\ 1$ suy ra $\displaystyle x\ =\ 1$
$\displaystyle A\ =\ 3$ thì $\displaystyle \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \ +\ 1} \ =\ 3$, tức là $\displaystyle 4\sqrt{x} \ =\ 3\sqrt{x} \ +\ 3$, nên $\displaystyle \sqrt{x} \ =\ 3$ suy ra $\displaystyle x\ =\ 9$
Vậy $\displaystyle x\ =\ \left\{0;\ \frac{1}{9} ;\ 1;\ 9\right\}$ thì $\displaystyle A\ \in \ Z$