giải nhanh

Câu 1: a) Giá trị của hàm số tại $x=\frac{\pi}{2}$ là: \[ y = 2\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - 1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \sqrt{3} - 1 \] Vậy giá trị của hàm số tại $x=\frac{\pi}{2}$ là $\sqrt{3} - 1$, không phải là 0. b) Tập xác định của hàm số là R vì hàm số $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3}) - 1$ là hàm số lượng giác, và hàm lượng giác có tập xác định là R. c) Tập giá trị của hàm số là $[-3;1]$. - Hàm số $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3}) - 1$ có dạng $y = A\cos(Bx + C) + D$, trong đó $A = 2$, $B = 1$, $C = -\frac{\pi}{3}$, $D = -1$. - Tập giá trị của hàm số $y = \cos(x)$ là $[-1;1]$. Do đó, tập giá trị của hàm số $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$ là $[-2;2]$. - Khi dịch chuyển dọc xuống 1 đơn vị, tập giá trị của hàm số $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3}) - 1$ sẽ là $[-3;1]$. d) Số nghiệm của phương trình $y = 0$ trên đoạn $[0;\pi]$ là hai nghiệm. - Phương trình $y = 0$ tương đương với $2\cos(x - \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$. - Điều này dẫn đến $\cos(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. - Trên đoạn $[0;\pi]$, phương trình $\cos(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ có hai nghiệm là $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ và $x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ (tương đương với $x = \frac{2\pi}{3}$ và $x = 0$). Vậy đáp án đúng là: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 2: a) Số hạng thứ 5 của dãy số $(u_n)$ là 14. - Ta có $u_5 = 3 \times 5 - 1 = 15 - 1 = 14$. Vậy số hạng thứ 5 của dãy số $(u_n)$ là 14. Đúng. b) Dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới. - Ta thấy $u_n = 3n - 1$ là một hàm số tuyến tính tăng dần theo $n$. - Khi $n$ tăng lên, $u_n$ cũng tăng lên và không có giới hạn dưới cố định. - Do đó, dãy số $(u_n)$ không bị chặn dưới. Sai. c) Dãy số $(u_n)$ là một dãy số cộng có công sai bằng 3. - Ta có $u_{n+1} - u_n = [3(n+1) - 1] - (3n - 1) = 3n + 3 - 1 - 3n + 1 = 3$. - Vậy dãy số $(u_n)$ là một dãy số cộng có công sai bằng 3. Đúng. d) Dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân. - Ta thấy $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3(n+1) - 1}{3n - 1} = \frac{3n + 2}{3n - 1}$ không là hằng số. - Do đó, dãy số $(u_n)$ không phải là một cấp số nhân. Sai. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 3: a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO. - Vì O là giao điểm của AC và BD nên O thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Do đó, SO là giao tuyến của hai mặt phẳng này. b) Đường thẳng AM song song với đường thẳng BC. - Vì ABCD là hình bình hành nên AC và BD chia nhau tại O, tức là O là trung điểm của AC và BD. - M là trung điểm của SD, do đó AM là đường trung bình của tam giác SAD. - Vì O là trung điểm của AC nên AO = OC. Mặt khác, vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC. - Do đó, AM // BC (vì AM là đường trung bình của tam giác SAD và AD // BC). c) Đường thẳng SB song song với mặt phẳng (ACM). - Vì O là trung điểm của AC và M là trung điểm của SD, nên OM là đường trung bình của tam giác ASD. - Do đó, OM // AS. - Mặt khác, vì SB nằm trong mặt phẳng (SBD) và OM // AS, nên SB // OM. - Vì SB không nằm trong mặt phẳng (ACM) và OM nằm trong mặt phẳng (ACM), nên SB // (ACM). d) Mặt phẳng (SAB) song song với mặt phẳng (SCD). - Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD. - Mặt khác, vì S là đỉnh chung của cả hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), nên SB và SC là các đường thẳng chung của hai mặt phẳng này. - Do đó, (SAB) // (SCD) (vì AB // CD và SB, SC là các đường thẳng chung của hai mặt phẳng này). Đáp án đúng là: c) Đường thẳng SB song song với mặt phẳng (ACM). Câu 4: Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 1 \), ta cần đảm bảo rằng: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ cả hai phía. 1. Tính giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} \] Ta thấy rằng \( x^2 + x - 2 \) có thể phân tích thành: \[ x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 2) = 1 + 2 = 3 \] 2. Ta biết rằng: \[ f(1) = 2a - 1 \] Để hàm số liên tục tại \( x = 1 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] \[ 3 = 2a - 1 \] Giải phương trình này để tìm \( a \): \[ 2a - 1 = 3 \] \[ 2a = 4 \] \[ a = 2 \] Vậy, để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 1 \), giá trị của \( a \) phải là: \[ a = 2 \]