toán lớp 8

Bài 1. Để thu gọn đa thức $-5x^2 + x - 3x^3 + 5x - x^2 + 12$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các hạng tử đồng dạng: - Các hạng tử chứa $x^3$: $-3x^3$ - Các hạng tử chứa $x^2$: $-5x^2$ và $-x^2$ - Các hạng tử chứa $x$: $x$ và $5x$ - Các hạng tử độc lập (không chứa biến): $12$ 2. Thu gọn các hạng tử đồng dạng: - Hạng tử chứa $x^3$: $-3x^3$ - Hạng tử chứa $x^2$: $-5x^2 - x^2 = -6x^2$ - Hạng tử chứa $x$: $x + 5x = 6x$ - Hạng tử độc lập: $12$ 3. Viết lại đa thức đã thu gọn: Kết quả cuối cùng là: $-3x^3 - 6x^2 + 6x + 12$ Vậy đa thức đã thu gọn là: $-3x^3 - 6x^2 + 6x + 12$. Bài 2. a) $(7-x)^2$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, ta có: $(7-x)^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot x + x^2 = 49 - 14x + x^2$ b) $(8+x)^2$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, ta có: $(8+x)^2 = 8^2 + 2 \cdot 8 \cdot x + x^2 = 64 + 16x + x^2$ c) $(x-4)^2$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, ta có: $(x-4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$ d) $(x+1)^2$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, ta có: $(x+1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$ Đáp số: a) $(7-x)^2 = 49 - 14x + x^2$ b) $(8+x)^2 = 64 + 16x + x^2$ c) $(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16$ d) $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ Bài 3. a) Ta có: \[ \frac{x^2 - x - 10}{16 - x^2} + \frac{5}{4 - x} \] Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \(16 - x^2\) có thể được viết lại dưới dạng \((4 - x)(4 + x)\). Do đó, ta có: \[ \frac{x^2 - x - 10}{(4 - x)(4 + x)} + \frac{5}{4 - x} \] Tiếp theo, ta quy đồng mẫu số chung của hai phân thức: \[ \frac{x^2 - x - 10}{(4 - x)(4 + x)} + \frac{5(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)} \] Bây giờ, ta cộng hai phân thức này lại: \[ \frac{x^2 - x - 10 + 5(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)} \] Ta thực hiện phép nhân và cộng ở tử số: \[ x^2 - x - 10 + 20 + 5x = x^2 + 4x + 10 \] Do đó, ta có: \[ \frac{x^2 + 4x + 10}{(4 - x)(4 + x)} \] b) Ta có: \[ \frac{x - 9}{x^2 - 9} + \frac{-2}{x + 3} \] Nhận thấy rằng \(x^2 - 9\) có thể được viết lại dưới dạng \((x - 3)(x + 3)\). Do đó, ta có: \[ \frac{x - 9}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{-2}{x + 3} \] Tiếp theo, ta quy đồng mẫu số chung của hai phân thức: \[ \frac{x - 9}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{-2(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} \] Bây giờ, ta cộng hai phân thức này lại: \[ \frac{x - 9 - 2(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} \] Ta thực hiện phép nhân và cộng ở tử số: \[ x - 9 - 2x + 6 = -x - 3 \] Do đó, ta có: \[ \frac{-x - 3}{(x - 3)(x + 3)} \] Cuối cùng, ta rút gọn phân thức: \[ \frac{-(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{-1}{x - 3} \] Vậy kết quả cuối cùng là: a) \(\frac{x^2 + 4x + 10}{(4 - x)(4 + x)}\) b) \(\frac{-1}{x - 3}\) Bài 4. a) Mặt đáy của chiếc đèn lồng là một tam giác đều. Các mặt bên của chiếc đèn lồng là ba tam giác đều. b) Để tính diện tích bề mặt giấy dán xung quanh chiếc đèn lồng, ta cần tính diện tích của ba mặt bên. Diện tích của một tam giác đều được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{cạnh đáy} \times \text{đường cao} \] Áp dụng công thức này cho một mặt bên của đèn lồng: \[ S_{\text{mặt bên}} = \frac{1}{2} \times 30 \times 40 = \frac{1}{2} \times 1200 = 600 \, \text{cm}^2 \] Vì có ba mặt bên, nên tổng diện tích bề mặt giấy dán xung quanh là: \[ S_{\text{tổng}} = 3 \times 600 = 1800 \, \text{cm}^2 \] Đáp số: Diện tích bề mặt giấy dán xung quanh là 1800 cm². Bài 5. a) Giá trị xuất khẩu gạo của Việt Nam ít nhất vào năm 2016 và nhiều nhất vào năm 2021. b) Tổng giá trị xuất khẩu gạo của Việt Nam trong 3 năm 2016, 2017, 2018 là: \[ 2,5 + 3,1 + 3,5 = 9,1 \text{ tỷ USD} \] Tổng giá trị xuất khẩu gạo của Việt Nam trong 3 năm 2020, 2021, 2022 là: \[ 4,1 + 4,2 + 3,8 = 12,1 \text{ tỷ USD} \] So sánh: \[ 9,1 < 12,1 \] Vậy tổng giá trị xuất khẩu gạo của Việt Nam trong 3 năm 2020, 2021, 2022 lớn hơn tổng giá trị xuất khẩu gạo của Việt Nam trong 3 năm 2016, 2017, 2018. c) Tổng giá trị xuất khẩu gạo của Việt Nam trong 5 năm từ năm 2017 đến năm 2021 là: \[ 3,1 + 3,5 + 3,8 + 4,1 + 4,2 = 18,7 \text{ tỷ USD} \] Đáp số: a) Năm ít nhất: 2016, Năm nhiều nhất: 2021 b) Tổng giá trị xuất khẩu gạo của Việt Nam trong 3 năm 2020, 2021, 2022 lớn hơn tổng giá trị xuất khẩu gạo của Việt Nam trong 3 năm 2016, 2017, 2018. c) Tổng giá trị xuất khẩu gạo của Việt Nam trong 5 năm từ năm 2017 đến năm 2021 là 18,7 tỷ USD. Bài 6. Tứ giác ADHK là hình vuông vì: - Ta có $\angle A = 90^\circ$, do đó $\angle BAC = 90^\circ$. - HD vuông góc với AB tại D, do đó $\angle ADH = 90^\circ$. - HK vuông góc với AC tại K, do đó $\angle AKH = 90^\circ$. - AH là đường cao của tam giác ABC, do đó $\angle AHD = 90^\circ$ và $\angle AHK = 90^\circ$. Vậy tất cả các góc của tứ giác ADHK đều là góc vuông, tức là $\angle ADH = \angle AKH = \angle AHD = \angle AHK = 90^\circ$. Do đó, tứ giác ADHK là hình vuông. Bài 7: a) Ta có: - Tam giác ABC vuông tại A, do đó góc BAC = 90°. - Trung tuyến AD chia cạnh BC thành hai phần bằng nhau, tức là BD = DC. - DE vuông góc với AB tại E, tức là góc DEB = 90°. - DF vuông góc với AC tại F, tức là góc DFC = 90°. Ta sẽ chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật bằng cách chứng minh các góc của nó đều là góc vuông. 1. Góc ADE: - Vì DE vuông góc với AB tại E, nên góc DEB = 90°. - Do đó, góc ADE = 90°. 2. Góc ADF: - Vì DF vuông góc với AC tại F, nên góc DFC = 90°. - Do đó, góc ADF = 90°. 3. Góc EDF: - Ta có góc BAC = 90° (vì tam giác ABC vuông tại A). - Góc ADE = 90° và góc ADF = 90°. - Do đó, góc EDF = 90° (góc giữa hai đường thẳng vuông góc với hai cạnh của góc vuông). 4. Góc AEF: - Vì góc ADE = 90° và góc ADF = 90°, nên góc AEF = 90° (góc giữa hai đường thẳng vuông góc với hai cạnh của góc vuông). Vậy, tất cả các góc của tứ giác AEDF đều là góc vuông, tức là góc ADE = 90°, góc ADF = 90°, góc EDF = 90° và góc AEF = 90°. Do đó, tứ giác AEDF là hình chữ nhật. Đáp số: Tứ giác AEDF là hình chữ nhật.