tìm f'(4) ( tính toán , không lấy ngẫu nhiên số )

Câu 10: Điều kiện xác định: $x \neq -\frac{d}{c}$. Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$. Điều này suy ra $\frac{a}{c} = 1$, do đó $a = c$. Hàm số trở thành $y = \frac{ax + b}{ax + d}$. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = -\frac{d}{a}$. Từ đồ thị, ta thấy tiệm cận đứng là $x = -4$, do đó $-\frac{d}{a} = -4$, tức là $d = 4a$. Hàm số trở thành $y = \frac{ax + b}{ax + 4a} = \frac{x + \frac{b}{a}}{x + 4}$. Biết rằng $\min_{[1,5]} y = 1$. Ta sẽ tìm giá trị của $\frac{b}{a}$ sao cho điều kiện này thỏa mãn. Xét trên đoạn $[1,5]$, ta có: \[ y = \frac{x + \frac{b}{a}}{x + 4} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của $y$ trên đoạn $[1,5]$, ta tính đạo hàm của $y$: \[ y' = \frac{(x+4) - (x + \frac{b}{a})}{(x+4)^2} = \frac{4 - \frac{b}{a}}{(x+4)^2} \] Đạo hàm $y'$ sẽ bằng 0 khi: \[ 4 - \frac{b}{a} = 0 \Rightarrow \frac{b}{a} = 4 \] Do đó, hàm số trở thành: \[ y = \frac{x + 4}{x + 4} = 1 \] Điều này chứng tỏ rằng giá trị nhỏ nhất của $y$ trên đoạn $[1,5]$ là 1, thỏa mãn điều kiện bài toán. Bây giờ, ta tính giá trị của $y'$ tại điểm $x = -4$: \[ y' = \frac{4 - \frac{b}{a}}{(x+4)^2} \] \[ y'(-4) = \frac{4 - 4}{(-4+4)^2} = \frac{0}{0^2} \] Tuy nhiên, vì $x = -4$ là tiệm cận đứng, đạo hàm không xác định tại điểm này. Do đó, ta cần xem xét lại cách tiếp cận. Ta có thể sử dụng phương pháp khác để tính đạo hàm: \[ y = \frac{x + 4}{x + 4} = 1 \] \[ y' = 0 \] Vậy giá trị của $y'(-4)$ là: \[ y'(-4) = 0 \] Đáp số: $y'(-4) = 0$.