độ cao (tính bằng mét) của tàu lượn siêu tốc so với mặt đất sau t(giây) (0

Question

độ cao (tính bằng mét) của tàu lượn siêu tốc so với mặt đất sau t(giây) (0< hoặc bằng t < hoặc bằng 20) từ lúc bắt đầu được cho bởi công thức h(t) = -4/255 t^3 + 49/85 t^2 - 98/17 t + 20. Trong khoảng thời gian (a;b) tàu lượn đi lên. Tính a +2b

Accepted Answer

Để xác định khoảng thời gian (a; b) trong đó tàu lượn siêu tốc đi lên, ta cần tìm khoảng thời gian mà đạo hàm của hàm số độ cao $ h(t) $ là dương.

Bước 1: Tính đạo hàm của $ h(t) $.

$$ h(t) = -\frac{4}{255} t^3 + \frac{49}{85} t^2 - \frac{98}{17} t + 20 $$

$$ h'(t) = -\frac{12}{255} t^2 + \frac{98}{85} t - \frac{98}{17} $$

Rút gọn các hệ số:

$$ h'(t) = -\frac{4}{85} t^2 + \frac{98}{85} t - \frac{98}{17} $$

$$ h'(t) = -\frac{4}{85} t^2 + \frac{98}{85} t - \frac{490}{85} $$

$$ h'(t) = -\frac{4}{85} (t^2 - \frac{98}{4} t + \frac{490}{4}) $$

$$ h'(t) = -\frac{4}{85} (t^2 - 24.5 t + 122.5) $$

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0.

$$ -\frac{4}{85} (t^2 - 24.5 t + 122.5) = 0 $$

$$ t^2 - 24.5 t + 122.5 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai này:

$$ t = \frac{24.5 \pm \sqrt{(24.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 122.5}}{2 \cdot 1} $$

$$ t = \frac{24.5 \pm \sqrt{600.25 - 490}}{2} $$

$$ t = \frac{24.5 \pm \sqrt{110.25}}{2} $$

$$ t = \frac{24.5 \pm 10.5}{2} $$

$$ t_1 = \frac{24.5 + 10.5}{2} = 17.5 $$

$$ t_2 = \frac{24.5 - 10.5}{2} = 7 $$

Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm $ h'(t) $ trên các khoảng (0, 7), (7, 17.5), và (17.5, 20).

- Trên khoảng (0, 7): Chọn $ t = 5 $

$$ h'(5) = -\frac{4}{85} (5^2 - 24.5 \cdot 5 + 122.5) = -\frac{4}{85} (25 - 122.5 + 122.5) = -\frac{4}{85} \cdot 25 = -\frac{100}{85} < 0 $$

- Trên khoảng (7, 17.5): Chọn $ t = 12 $

$$ h'(12) = -\frac{4}{85} (12^2 - 24.5 \cdot 12 + 122.5) = -\frac{4}{85} (144 - 294 + 122.5) = -\frac{4}{85} \cdot (-27.5) > 0 $$

- Trên khoảng (17.5, 20): Chọn $ t = 18 $

$$ h'(18) = -\frac{4}{85} (18^2 - 24.5 \cdot 18 + 122.5) = -\frac{4}{85} (324 - 441 + 122.5) = -\frac{4}{85} \cdot 5.5 < 0 $$

Do đó, tàu lượn siêu tốc đi lên trong khoảng thời gian (7, 17.5).

Bước 4: Tính $ a + 2b $.

$$ a = 7 $$
$$ b = 17.5 $$

$$ a + 2b = 7 + 2 \cdot 17.5 = 7 + 35 = 42 $$

Đáp số: $ a + 2b = 42 $.

độ cao (tính bằng mét) của tàu lượn siêu tốc so với mặt đất sau t(giây) (0< hoặc bằng t < hoặc bằng 20) từ lúc bắt đầu được cho bởi công thức h(t) = -4/255 t^3 + 49/85 t^2 - 98/17 t + 20. Trong khoảng...