Giải với ạ

Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số đã cho là \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] 2. Áp dụng điều kiện cực đại và cực tiểu: - Điểm \( A(-2;3) \) là điểm cực đại, do đó \( y'(-2) = 0 \): \[ 3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0 \implies 12a - 4b + c = 0 \quad \text{(1)} \] - Điểm \( B(1;0) \) là điểm cực tiểu, do đó \( y'(1) = 0 \): \[ 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 0 \implies 3a + 2b + c = 0 \quad \text{(2)} \] 3. Áp dụng điều kiện hàm số đi qua các điểm đã cho: - Điểm \( A(-2;3) \) thuộc đồ thị hàm số: \[ a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + d = 3 \implies -8a + 4b - 2c + d = 3 \quad \text{(3)} \] - Điểm \( B(1;0) \) thuộc đồ thị hàm số: \[ a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 0 \implies a + b + c + d = 0 \quad \text{(4)} \] 4. Giải hệ phương trình: Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 12a - 4b + c = 0 & \text{(1)} \\ 3a + 2b + c = 0 & \text{(2)} \\ -8a + 4b - 2c + d = 3 & \text{(3)} \\ a + b + c + d = 0 & \text{(4)} \end{cases} \] Từ (1) và (2), ta trừ (2) từ (1): \[ (12a - 4b + c) - (3a + 2b + c) = 0 \implies 9a - 6b = 0 \implies 3a = 2b \implies b = \frac{3}{2}a \] Thay \( b = \frac{3}{2}a \) vào (2): \[ 3a + 2\left(\frac{3}{2}a\right) + c = 0 \implies 3a + 3a + c = 0 \implies 6a + c = 0 \implies c = -6a \] Thay \( b = \frac{3}{2}a \) và \( c = -6a \) vào (4): \[ a + \frac{3}{2}a - 6a + d = 0 \implies \left(1 + \frac{3}{2} - 6\right)a + d = 0 \implies \left(\frac{2}{2} + \frac{3}{2} - \frac{12}{2}\right)a + d = 0 \implies -\frac{7}{2}a + d = 0 \implies d = \frac{7}{2}a \] 5. Tính giá trị biểu thức \( a + 9bc + d \): \[ a + 9bc + d = a + 9a\left(\frac{3}{2}a\right)(-6a) + \frac{7}{2}a = a + 9a\left(-\frac{18}{2}a^2\right) + \frac{7}{2}a = a - 81a^3 + \frac{7}{2}a \] \[ = a + \frac{7}{2}a - 81a^3 = \frac{2a + 7a}{2} - 81a^3 = \frac{9a}{2} - 81a^3 \] Vì \( a \neq 0 \), ta thấy rằng biểu thức \( a + 9bc + d \) phụ thuộc vào giá trị của \( a \). Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể nhận thấy rằng biểu thức này không phụ thuộc vào \( a \) cụ thể mà chỉ cần biết rằng nó có dạng \( \frac{9a}{2} - 81a^3 \). Do đó, giá trị biểu thức \( a + 9bc + d \) là: \[ \boxed{\frac{9a}{2} - 81a^3} \] Câu 3. Trước tiên, ta cần hiểu rằng lực căng của mỗi sợi dây cáp sẽ chịu một phần của trọng lượng của chiếc container. Vì có bốn sợi dây cáp và chúng đều có độ dài bằng nhau, nên mỗi sợi dây cáp sẽ chịu một phần tư của trọng lượng chiếc container. Trọng lượng của chiếc container là 60 kN. Do đó, mỗi sợi dây cáp sẽ chịu: \[ F = \frac{60 \text{ kN}}{4} = 15 \text{ kN} \] Tuy nhiên, vì mỗi sợi dây cáp tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60°, nên lực căng thực tế của mỗi sợi dây cáp sẽ lớn hơn do thành phần lực thẳng đứng phải cân bằng với trọng lượng của container. Ta có thể sử dụng hình chiếu của lực căng để tính toán. Nếu ta gọi lực căng của mỗi sợi dây cáp là \( T \), thì thành phần lực thẳng đứng của mỗi sợi dây cáp là \( T \cos(60^\circ) \). Do đó, ta có: \[ 4 \times T \cos(60^\circ) = 60 \text{ kN} \] Biết rằng \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), ta thay vào: \[ 4 \times T \times \frac{1}{2} = 60 \text{ kN} \] \[ 2T = 60 \text{ kN} \] \[ T = \frac{60 \text{ kN}}{2} = 30 \text{ kN} \] Vậy, cường độ lực căng của mỗi sợi dây cáp là 30 kN. Đáp số: 30 kN. Câu 4. Trước tiên, ta cần tính thể tích của phần bể nước đã được đổ đầy đến độ sâu 3 m. Phần này có dạng một hình nón với chiều cao là 3 m và bán kính đáy là 2 m. Thể tích của một hình nón được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Ở đây, \( r = 2 \) m và \( h = 3 \) m. Thay vào công thức, ta có: \[ V = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (3) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 3 = 4\pi \text{ m}^3 \] Tốc độ bơm nước vào bể là 2 m³/phút. Do đó, mỗi phút, thể tích nước tăng thêm 2 m³. Bây giờ, ta cần tìm tốc độ dâng lên của mực nước. Tức là, ta cần biết rằng mỗi phút, mực nước sẽ dâng lên bao nhiêu mét. Ta có thể sử dụng công thức thể tích của một hình nón để tìm tốc độ dâng lên của mực nước. Gọi \( h' \) là chiều cao mà mực nước dâng lên trong một phút, thì thể tích nước tăng thêm trong một phút là: \[ V' = \frac{1}{3} \pi r^2 h' \] Ở đây, \( r = 2 \) m và \( V' = 2 \text{ m}^3 \). Thay vào công thức, ta có: \[ 2 = \frac{1}{3} \pi (2)^2 h' \] \[ 2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot h' \] \[ 2 = \frac{4}{3} \pi h' \] Giải phương trình này để tìm \( h' \): \[ h' = \frac{2 \times 3}{4 \pi} = \frac{6}{4 \pi} = \frac{3}{2 \pi} \] Lấy giá trị của \( \pi \approx 3.14 \): \[ h' = \frac{3}{2 \times 3.14} \approx \frac{3}{6.28} \approx 0.48 \text{ m/phút} \] Vậy tốc độ dâng lên của mực nước khi mực nước trong bể đạt độ sâu bằng 3 m là khoảng 0.48 m/phút. Đáp số: 0.48 m/phút. Câu 5. Trước tiên, ta xác định tọa độ của hai chiếc khinh khí cầu: - Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 3 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,4 km. Do đó, tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ nhất là \( A(-2; 3; 0,4) \). - Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát 2 km về phía bắc và 2 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Do đó, tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ hai là \( B(2; -2; 0,8) \). Gọi \( M(a; b; 0) \) là điểm nằm trên mặt đất sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Ta cần tính khoảng cách từ điểm \( M(a; b; 0) \) đến hai khinh khí cầu \( A \) và \( B \): - Khoảng cách từ \( M \) đến \( A \) là: \[ MA = \sqrt{(a + 2)^2 + (b - 3)^2 + (0 - 0,4)^2} = \sqrt{(a + 2)^2 + (b - 3)^2 + 0,16} \] - Khoảng cách từ \( M \) đến \( B \) là: \[ MB = \sqrt{(a - 2)^2 + (b + 2)^2 + (0 - 0,8)^2} = \sqrt{(a - 2)^2 + (b + 2)^2 + 0,64} \] Tổng khoảng cách từ \( M \) đến hai khinh khí cầu là: \[ f(a, b) = \sqrt{(a + 2)^2 + (b - 3)^2 + 0,16} + \sqrt{(a - 2)^2 + (b + 2)^2 + 0,64} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(a, b) \), ta sử dụng phương pháp đạo hàm. Ta sẽ tìm đạo hàm riêng theo \( a \) và \( b \) và đặt chúng bằng 0 để tìm điểm cực tiểu. Đạo hàm riêng theo \( a \): \[ \frac{\partial f}{\partial a} = \frac{a + 2}{\sqrt{(a + 2)^2 + (b - 3)^2 + 0,16}} + \frac{a - 2}{\sqrt{(a - 2)^2 + (b + 2)^2 + 0,64}} \] Đạo hàm riêng theo \( b \): \[ \frac{\partial f}{\partial b} = \frac{b - 3}{\sqrt{(a + 2)^2 + (b - 3)^2 + 0,16}} + \frac{b + 2}{\sqrt{(a - 2)^2 + (b + 2)^2 + 0,64}} \] Đặt các đạo hàm này bằng 0 và giải hệ phương trình: \[ \frac{a + 2}{\sqrt{(a + 2)^2 + (b - 3)^2 + 0,16}} + \frac{a - 2}{\sqrt{(a - 2)^2 + (b + 2)^2 + 0,64}} = 0 \] \[ \frac{b - 3}{\sqrt{(a + 2)^2 + (b - 3)^2 + 0,16}} + \frac{b + 2}{\sqrt{(a - 2)^2 + (b + 2)^2 + 0,64}} = 0 \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được \( a = 0 \) và \( b = 0,5 \). Do đó, \( a + b = 0 + 0,5 = 0,5 \). Đáp số: \( a + b = 0,5 \). Câu 6. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( C(t) = \frac{30t}{e^2 + 2} \) trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \( C(t) \): \[ C'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{30t}{e^2 + 2}\right) = \frac{30}{e^2 + 2} \] 2. Xét dấu đạo hàm: \[ C'(t) = \frac{30}{e^2 + 2} > 0 \] Do đó, \( C(t) \) là hàm số đồng biến trên khoảng \( [0, 12] \). 3. Tìm giá trị lớn nhất của \( C(t) \): Vì \( C(t) \) là hàm số đồng biến trên khoảng \( [0, 12] \), giá trị lớn nhất của \( C(t) \) sẽ xảy ra tại \( t = 12 \): \[ C(12) = \frac{30 \times 12}{e^2 + 2} = \frac{360}{e^2 + 2} \] 4. Tính giá trị cụ thể: \[ e^2 \approx 7.389 \] \[ e^2 + 2 \approx 9.389 \] \[ C(12) \approx \frac{360}{9.389} \approx 38.3 \] Vậy, nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất là 38.3 mg/L, đạt được khi \( t = 12 \) giờ. Đáp số: 38.3 mg/L