Giaia bai sau

Câu 59. A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng. - Đúng. Định nghĩa ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng. B. Ba véctơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ đồng phẳng thì có $\overrightarrow c=m\overrightarrow a+n\overrightarrow b$ với m,n là các số duy nhất. - Sai. Nếu ba véctơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ đồng phẳng thì có $\overrightarrow c=m\overrightarrow a+n\overrightarrow b$, nhưng m và n không phải là các số duy nhất. Ví dụ, nếu $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b$, ta cũng có thể viết $\overrightarrow c = 4\overrightarrow a + 6\overrightarrow b$ (với m = 4 và n = 6). C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có $\overrightarrow d=m\overrightarrow a+n\overrightarrow b+p\overrightarrow c$ với $\overrightarrow d$ là véctơ bất kì. - Sai. Ba véctơ không đồng phẳng khi không tồn tại các số thực m, n, p sao cho $\overrightarrow d = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c$ với $\overrightarrow d$ là véctơ bất kì. D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng. - Đúng. Ba véctơ đồng phẳng có giá cùng song song với một mặt phẳng. Kết luận: Các mệnh đề đúng là A và D. Câu 60. A. Nếu giá của ba vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng. - Đây là khẳng định đúng vì nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một, chúng sẽ nằm trên cùng một mặt phẳng. B. Nếu trong ba vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ có một vectơ $\widehat0$ thì ba vectơ đó đồng phẳng. - Đây là khẳng định đúng vì vectơ $\widehat0$ có thể coi là nằm trên mọi mặt phẳng, do đó ba vectơ sẽ đồng phẳng. C. Nếu giá của ba vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng. - Đây là khẳng định đúng vì nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng, chúng sẽ nằm trên cùng một mặt phẳng. D. Nếu trong ba vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. - Đây là khẳng định sai vì nếu trong ba vectơ có hai vectơ cùng phương, chúng sẽ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc cùng một mặt phẳng, nhưng không chắc chắn rằng tất cả ba vectơ đều nằm trên cùng một mặt phẳng. Vậy khẳng định sai là: D. Nếu trong ba vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. Câu 61. Để kiểm tra xem các vectơ có đồng phẳng hay không, ta sẽ sử dụng phương pháp kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ. Nếu tồn tại các số thực \(k_1, k_2, k_3\) không đồng thời bằng 0 sao cho: \[ k_1 \overrightarrow{x} + k_2 \overrightarrow{y} + k_3 \overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}, \] thì các vectơ đó đồng phẳng. A. Kiểm tra các vectơ \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 6\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{z} = -\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 6\overrightarrow{c}\): Ta có: \[ k_1 (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}) + k_2 (2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 6\overrightarrow{c}) + k_3 (-\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 6\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0}. \] Nhóm các vectơ lại theo từng thành phần: \[ (k_1 + 2k_2 - k_3)\overrightarrow{a} + (k_1 - 3k_2 + 3k_3)\overrightarrow{b} + (2k_1 - 6k_2 + 6k_3)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}. \] Vì \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) không đồng phẳng, nên: \[ \begin{cases} k_1 + 2k_2 - k_3 = 0 \\ k_1 - 3k_2 + 3k_3 = 0 \\ 2k_1 - 6k_2 + 6k_3 = 0 \end{cases}. \] Giải hệ phương trình này, ta thấy rằng nó có nghiệm không đồng thời bằng 0, do đó các vectơ đồng phẳng. B. Kiểm tra các vectơ \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{y} = 3\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{z} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c}\): Ta có: \[ k_1 (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}) + k_2 (3\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}) + k_3 (2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0}. \] Nhóm các vectơ lại theo từng thành phần: \[ (k_1 + 3k_2 + 2k_3)\overrightarrow{a} + (-2k_1 - 3k_2 - 3k_3)\overrightarrow{b} + (4k_1 + 2k_2 - 3k_3)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}. \] Vì \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) không đồng phẳng, nên: \[ \begin{cases} k_1 + 3k_2 + 2k_3 = 0 \\ -2k_1 - 3k_2 - 3k_3 = 0 \\ 4k_1 + 2k_2 - 3k_3 = 0 \end{cases}. \] Giải hệ phương trình này, ta thấy rằng nó có nghiệm không đồng thời bằng 0, do đó các vectơ đồng phẳng. C. Kiểm tra các vectơ \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{z} = -\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}\): Ta có: \[ k_1 (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) + k_2 (2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) + k_3 (-\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0}. \] Nhóm các vectơ lại theo từng thành phần: \[ (k_1 + 2k_2 - k_3)\overrightarrow{a} + (k_1 - 3k_2 + 3k_3)\overrightarrow{b} + (k_1 + k_2 + 3k_3)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}. \] Vì \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) không đồng phẳng, nên: \[ \begin{cases} k_1 + 2k_2 - k_3 = 0 \\ k_1 - 3k_2 + 3k_3 = 0 \\ k_1 + k_2 + 3k_3 = 0 \end{cases}. \] Giải hệ phương trình này, ta thấy rằng nó có nghiệm không đồng thời bằng 0, do đó các vectơ đồng phẳng. D. Kiểm tra các vectơ \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{z} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}\): Ta có: \[ k_1 (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) + k_2 (2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}) + k_3 (-\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0}. \] Nhóm các vectơ lại theo từng thành phần: \[ (k_1 + 2k_2 - k_3)\overrightarrow{a} + (k_1 - k_2 - k_3)\overrightarrow{b} + (-k_1 + 3k_2 + 2k_3)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}. \] Vì \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) không đồng phẳng, nên: \[ \begin{cases} k_1 + 2k_2 - k_3 = 0 \\ k_1 - k_2 - k_3 = 0 \\ -k_1 + 3k_2 + 2k_3 = 0 \end{cases}. \] Giải hệ phương trình này, ta thấy rằng nó không có nghiệm không đồng thời bằng 0, do đó các vectơ không đồng phẳng. Vậy khẳng định sai là: D. Các vectơ \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{z} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}\) không đồng phẳng. Câu 62. Để chứng minh rằng ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ đồng phẳng, ta cần kiểm tra điều kiện tồn tại ba số thực $m, n, p$ sao cho $m + n + p = 0$ và $m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$. Bước 1: Xét điều kiện $m + n + p = 0$. Điều này có nghĩa là tổng của ba số thực này bằng không. Bước 2: Xét điều kiện $m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$. Điều này có nghĩa là tổ hợp tuyến tính của ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ với các hệ số $m, n, p$ bằng vectơ null. Bước 3: Ta sẽ chứng minh rằng nếu tồn tại ba số thực $m, n, p$ thỏa mãn cả hai điều kiện trên thì ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ đồng phẳng. - Giả sử tồn tại ba số thực $m, n, p$ sao cho $m + n + p = 0$ và $m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$. - Từ $m + n + p = 0$, ta có $p = -m - n$. - Thay vào phương trình $m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$, ta được: \[ m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + (-m - n)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} \] \[ m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} - m\overrightarrow{c} - n\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} \] \[ m(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c}) + n(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \] Bước 4: Phương trình $m(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c}) + n(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0}$ cho thấy vectơ $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c}$ và vectơ $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$ là các vectơ đồng phẳng với vectơ null, tức là chúng nằm trong cùng một mặt phẳng. Do đó, ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ đồng phẳng. Kết luận: Điều kiện khẳng định ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ đồng phẳng là tồn tại ba số thực $m, n, p$ thỏa mãn $m + n + p = 0$ và $m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$.