giúp mình với

Câu 1: Đầu tiên, ta tính chu vi của bánh xe đạp: \[ C = \pi \times d = \pi \times 68 \text{ cm} \approx 3.14 \times 68 \text{ cm} = 213.52 \text{ cm} \] Tiếp theo, ta tính quãng đường bánh xe đạp đi được trong 2 giây: \[ Quãng \text{ } đường \text{ } trong \text{ } 2 \text{ } giây = 5 \times 213.52 \text{ cm} = 1067.6 \text{ cm} \] Ta chuyển đổi quãng đường này sang mét: \[ 1067.6 \text{ cm} = 10.676 \text{ m} \] Bây giờ, ta tính thời gian 10 phút thành giây: \[ 10 \text{ phút} = 10 \times 60 \text{ giây} = 600 \text{ giây} \] Số lần bánh xe quay trong 10 phút: \[ Số \text{ } lần \text{ } quay = \frac{600 \text{ giây}}{2 \text{ giây/lần}} = 300 \text{ lần} \] Quãng đường người đi xe đạp đã đi được trong 10 phút: \[ Quãng \text{ } đường = 300 \times 10.676 \text{ m} = 3202.8 \text{ m} \] Cuối cùng, ta làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ 3202.8 \text{ m} \approx 3203 \text{ m} \] Vậy, độ dài quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 10 phút là 3203 m. Câu 2: Để tìm số hạng thứ 2025 của cấp số cộng $(u_n)$, ta cần biết công thức tổng quát của số hạng thứ $n$ trong một cấp số cộng. Công thức này là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Trước tiên, ta cần tìm số hạng đầu tiên $u_1$. Biết rằng $u_4 = 7$ và công sai $d = 3$, ta có thể viết: \[ u_4 = u_1 + 3d \] \[ 7 = u_1 + 3 \times 3 \] \[ 7 = u_1 + 9 \] \[ u_1 = 7 - 9 \] \[ u_1 = -2 \] Bây giờ, ta đã biết $u_1 = -2$ và $d = 3$. Ta sẽ sử dụng công thức tổng quát để tìm số hạng thứ 2025: \[ u_{2025} = u_1 + (2025-1)d \] \[ u_{2025} = -2 + 2024 \times 3 \] \[ u_{2025} = -2 + 6072 \] \[ u_{2025} = 6070 \] Vậy số hạng thứ 2025 của cấp số cộng $(u_n)$ là 6070. Câu 3: Trước tiên, ta xác định vị trí của điểm \(I\) trên đoạn \(OC\). Ta biết rằng \(AC = 3\sqrt{3}\) và \(BD = 3\). Vì \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\), nên \(OC = \frac{AC}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\). Ta cũng biết rằng \(AI = 2\sqrt{3}\). Do đó, ta có thể tính khoảng cách từ \(O\) đến \(I\) như sau: \[OI = OC - IC = \frac{3\sqrt{3}}{2} - IC.\] Vì \(AI = 2\sqrt{3}\), ta có thể suy ra: \[IC = OC - AI = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.\] Do đó, ta thấy rằng \(I\) nằm trên đoạn \(OC\) và cách \(O\) một khoảng \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Bây giờ, ta xét thiết diện của hình chóp \(SABCD\) với mặt phẳng \((\alpha)\) song song với \(SBD\) và đi qua điểm \(I\). Thiết diện này sẽ là một tam giác đều vì \((\alpha)\) song song với \(SBD\) và tam giác \(SBD\) là tam giác đều. Ta cần tính diện tích của thiết diện này. Vì \((\alpha)\) song song với \(SBD\) và đi qua điểm \(I\) trên đoạn \(OC\), nên thiết diện sẽ là tam giác đều có cạnh bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh của tam giác \(SBD\). Cạnh của tam giác \(SBD\) là 3, do đó cạnh của tam giác đều trong thiết diện là: \[\frac{3}{2} = 1.5.\] Diện tích của một tam giác đều với cạnh \(a\) được tính bằng công thức: \[S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}.\] Áp dụng vào trường hợp của chúng ta: \[S = \frac{(1.5)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2.25 \sqrt{3}}{4} = \frac{2.25 \times 1.732}{4} \approx \frac{3.873}{4} \approx 0.96825.\] Vậy diện tích của thiết diện là: \[S \approx 0.97.\] Đáp số: Diện tích của thiết diện là \(0.97\). Câu 4: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm của tam giác ABC là điểm M, tức là M chia mỗi đường trung tuyến của tam giác ABC thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Gọi H là hình chiếu của M trên CD. Vì N là hình chiếu song song của M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD), nên MN song song với CD và MN = HD. Do đó, ta có: \[ \frac{MN}{CD} = \frac{HD}{CD} \] Mặt khác, vì M là trọng tâm của tam giác ABC, nên M chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1. Do đó, ta có: \[ \frac{HD}{CD} = \frac{1}{3} \] Vậy: \[ \frac{MN}{CD} = \frac{1}{3} \] Bây giờ, ta xét tam giác EMD và END. Vì MN song song với CD, nên tam giác EMD và END là hai tam giác đồng dạng (góc EMD = góc END và góc DEM = góc DEN). Do đó, ta có: \[ \frac{EN}{ED} = \frac{MN}{CD} = \frac{1}{3} \] Vậy: \[ \frac{EN}{ED} = \frac{1}{3} \approx 0.33 \] Đáp số: $\frac{EN}{ED} = 0.33$ Câu 5: Để tìm giá trị của biểu thức \( T = b + c \), ta cần sử dụng giới hạn đã cho: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + bx + c}{x - 2} = 5 \] Trước tiên, để giới hạn tồn tại và bằng 5, tử số \( x^2 + bx + c \) phải có nhân tử \( x - 2 \). Do đó, ta giả sử: \[ x^2 + bx + c = (x - 2)(x + d) \] Phát triển vế phải: \[ x^2 + bx + c = x^2 + (d - 2)x - 2d \] So sánh hệ số tương ứng của hai vế, ta có: \[ b = d - 2 \quad \text{và} \quad c = -2d \] Bây giờ, thay vào giới hạn ban đầu: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + d)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + d) = 2 + d \] Theo đề bài, giới hạn này bằng 5: \[ 2 + d = 5 \implies d = 3 \] Vậy: \[ b = d - 2 = 3 - 2 = 1 \] \[ c = -2d = -2 \times 3 = -6 \] Do đó: \[ T = b + c = 1 - 6 = -5 \] Đáp số: \( T = -5 \) Câu 6: Để kiểm tra tính liên tục của hàm số \( F(r) \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta cần kiểm tra tính liên tục tại các điểm giới hạn của các đoạn trong định nghĩa của hàm số. Trong trường hợp này, điểm cần kiểm tra là \( r = R \). Hàm số \( F(r) \) được định nghĩa như sau: \[ F(r) = \begin{cases} \frac{GMr}{R^3} & \text{khi } 0 < r < R \\ \frac{GM}{r^2} & \text{khi } R \leq r \end{cases} \] Ta sẽ kiểm tra tính liên tục của \( F(r) \) tại \( r = R \): 1. Tính giá trị của \( F(r) \) khi \( r \) tiến đến \( R \) từ bên trái (\( r \to R^- \)): \[ \lim_{r \to R^-} F(r) = \lim_{r \to R^-} \frac{GMr}{R^3} = \frac{GMR}{R^3} = \frac{GM}{R^2} \] 2. Tính giá trị của \( F(r) \) khi \( r \) tiến đến \( R \) từ bên phải (\( r \to R^+ \)): \[ \lim_{r \to R^+} F(r) = \lim_{r \to R^+} \frac{GM}{r^2} = \frac{GM}{R^2} \] 3. Tính giá trị của \( F(r) \) tại \( r = R \): \[ F(R) = \frac{GM}{R^2} \] Như vậy, ta thấy rằng: \[ \lim_{r \to R^-} F(r) = \lim_{r \to R^+} F(r) = F(R) = \frac{GM}{R^2} \] Do đó, hàm số \( F(r) \) liên tục tại \( r = R \). Vì vậy, hàm số \( F(r) \) liên tục trên toàn bộ khoảng \( (0; +\infty) \). Kết luận: Hàm số \( F(r) \) liên tục trên khoảng \( (0; +\infty) \) và giá trị liên tục xảy ra khi \( r = R \). Đáp số: Hàm số \( F(r) \) liên tục trên khoảng \( (0; +\infty) \) và giá trị liên tục xảy ra khi \( r = R \).