Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(- 2; - 1) B(1; 3) C(2; - 3) A chứng minh A, B, C là ba đỉnh một tam giác. b) Tìm trung điểm của AB b) Tìm Điểm M thuộc Ox sao cho AM + BM bé nhất c) Tìm Đi...

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác: - Tính khoảng cách giữa các điểm: \[ AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] \[ BC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \] \[ CA = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] - Kiểm tra tính chất tam giác: \[ AB + BC > CA \quad \Rightarrow \quad 5 + \sqrt{37} > 2\sqrt{5} \] \[ AB + CA > BC \quad \Rightarrow \quad 5 + 2\sqrt{5} > \sqrt{37} \] \[ BC + CA > AB \quad \Rightarrow \quad \sqrt{37} + 2\sqrt{5} > 5 \] Tất cả các điều kiện đều thỏa mãn, do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tìm trung điểm của AB: - Tọa độ trung điểm của AB: \[ M = \left( \frac{-2 + 1}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{-1}{2}, 1 \right) \] c) Tìm điểm M thuộc Ox sao cho AM + BM bé nhất: - Điểm M thuộc Ox có tọa độ (x, 0). Ta cần tìm x để AM + BM bé nhất. - Tọa độ điểm A' đối xứng với A qua Ox là (−2, 1). - Tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng A'B với Ox. - Phương trình đường thẳng A'B: \[ y - 3 = \frac{1 - 3}{-2 - 1}(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y - 3 = \frac{-2}{-3}(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y - 3 = \frac{2}{3}(x - 1) \] \[ y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} + 3 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3} \] - Giao điểm của đường thẳng này với Ox (y = 0): \[ 0 = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{3}x = -\frac{7}{3} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{7}{2} \] - Vậy điểm M là \(\left( -\frac{7}{2}, 0 \right)\). d) Tìm điểm N thuộc Oy sao cho BN + CN bé nhất: - Điểm N thuộc Oy có tọa độ (0, y). Ta cần tìm y để BN + CN bé nhất. - Tọa độ điểm B' đối xứng với B qua Oy là (−1, 3). - Tọa độ điểm N là giao điểm của đường thẳng B'C với Oy. - Phương trình đường thẳng B'C: \[ y - 3 = \frac{-3 - 3}{2 - (-1)}(x - (-1)) \quad \Rightarrow \quad y - 3 = \frac{-6}{3}(x + 1) \quad \Rightarrow \quad y - 3 = -2(x + 1) \] \[ y - 3 = -2x - 2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 1 \] - Giao điểm của đường thẳng này với Oy (x = 0): \[ y = -2(0) + 1 \quad \Rightarrow \quad y = 1 \] - Vậy điểm N là (0, 1). Đáp số: a) A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Trung điểm của AB là \(\left( \frac{-1}{2}, 1 \right)\). c) Điểm M là \(\left( -\frac{7}{2}, 0 \right)\). d) Điểm N là (0, 1). Câu 15: a) Để chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, ta cần kiểm tra xem chúng có nằm trên cùng một đường thẳng hay không. Ta sẽ tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Heron hoặc bằng cách sử dụng tọa độ của các đỉnh. Diện tích tam giác ABC: \[ S = \frac{1}{2} \left| -2(3 + 3) + 1(-3 + 1) + 2(-1 - 3) \right| = \frac{1}{2} \left| -2 \cdot 6 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot (-4) \right| = \frac{1}{2} \left| -12 - 2 - 8 \right| = \frac{1}{2} \left| -22 \right| = 11 \] Vì diện tích tam giác ABC khác 0, nên A, B, C không nằm trên cùng một đường thẳng và do đó là ba đỉnh của một tam giác. b) Tìm trung điểm của AB: Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là: \[ M = \left( \frac{-2 + 1}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{-1}{2}, 1 \right) \] c) Tìm điểm M thuộc Ox sao cho AM + BM bé nhất: Để AM + BM bé nhất, điểm M phải nằm trên đường thẳng nối giữa A và B khi chúng được phản chiếu qua trục Ox. Ta sẽ tìm điểm đối xứng của B qua Ox, gọi là B'. B' có tọa độ là (1, -3). Phương trình đường thẳng đi qua A và B': \[ y + 1 = \frac{-3 + 1}{1 + 2}(x + 2) \] \[ y + 1 = \frac{-2}{3}(x + 2) \] \[ y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3} - 1 \] \[ y = -\frac{2}{3}x - \frac{7}{3} \] Điểm M thuộc Ox, tức là y = 0: \[ 0 = -\frac{2}{3}x - \frac{7}{3} \] \[ \frac{2}{3}x = -\frac{7}{3} \] \[ x = -\frac{7}{2} \] Vậy điểm M là \(\left( -\frac{7}{2}, 0 \right)\). d) Tìm điểm N thuộc Oy sao cho BN + CN bé nhất: Để BN + CN bé nhất, điểm N phải nằm trên đường thẳng nối giữa B và C khi chúng được phản chiếu qua trục Oy. Ta sẽ tìm điểm đối xứng của C qua Oy, gọi là C'. C' có tọa độ là (-2, -3). Phương trình đường thẳng đi qua B và C': \[ y - 3 = \frac{-3 - 3}{-2 - 1}(x - 1) \] \[ y - 3 = \frac{-6}{-3}(x - 1) \] \[ y - 3 = 2(x - 1) \] \[ y = 2x - 2 + 3 \] \[ y = 2x + 1 \] Điểm N thuộc Oy, tức là x = 0: \[ y = 2 \cdot 0 + 1 \] \[ y = 1 \] Vậy điểm N là (0, 1). Đáp số: a) A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Trung điểm của AB là \(\left( \frac{-1}{2}, 1 \right)\). c) Điểm M là \(\left( -\frac{7}{2}, 0 \right)\). d) Điểm N là (0, 1).