help meeeeeeeee

Câu 3. Để tìm giá trị của \( m \) sao cho góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{u} = (1; 1; -2)\) và \(\overrightarrow{v} = (1; 0; m)\) bằng \(45^\circ\), ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai véc tơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Trong đó: - \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\) là tích vô hướng của hai véc tơ. - \(|\overrightarrow{u}|\) và \(|\overrightarrow{v}|\) là độ dài của hai véc tơ. Bước 1: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] Bước 2: Tính độ dài của \(\overrightarrow{u}\): \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] Bước 3: Tính độ dài của \(\overrightarrow{v}\): \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] Bước 4: Thay vào công thức cosin góc giữa hai véc tơ: \[ \cos 45^\circ = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] Biết rằng \(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\), ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] Bước 5: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \left( \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \right)^2 \] \[ \frac{1}{2} = \frac{(1 - 2m)^2}{6(1 + m^2)} \] Bước 6: Nhân cả hai vế với \(6(1 + m^2)\): \[ 3(1 + m^2) = (1 - 2m)^2 \] Bước 7: Mở rộng và sắp xếp các hạng tử: \[ 3 + 3m^2 = 1 - 4m + 4m^2 \] \[ 3m^2 - 4m^2 + 4m + 3 - 1 = 0 \] \[ -m^2 + 4m + 2 = 0 \] Bước 8: Nhân cả hai vế với \(-1\) để đơn giản hóa: \[ m^2 - 4m - 2 = 0 \] Bước 9: Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -4\), và \(c = -2\): \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} \] \[ m = 2 \pm \sqrt{6} \] Vậy, các giá trị của \(m\) là: \[ m = 2 + \sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad m = 2 - \sqrt{6} \] Đáp án đúng là: B. \(m = 2 \pm \sqrt{6}\). Câu 4. Để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là góc tù, ta cần tính tích vô hướng của chúng và kiểm tra điều kiện tích vô hướng nhỏ hơn 0. Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5m + 3(-1) + (-2)(m + 3) \] \[ = 5m - 3 - 2m - 6 \] \[ = 3m - 9 \] Để góc giữa hai vectơ là góc tù, ta cần: \[ 3m - 9 < 0 \] \[ 3m < 9 \] \[ m < 3 \] Do đó, các giá trị nguyên dương của \( m \) thỏa mãn điều kiện trên là \( m = 1 \) và \( m = 2 \). Vậy có 2 giá trị nguyên dương của \( m \) để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là góc tù. Đáp án đúng là: A. 2. Câu 5. Để tìm vectơ $\overrightarrow{c} = (x; y; z)$ khác $\overrightarrow{0}$ và vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; 3; 4)$ và $\overrightarrow{b} = (-1; 2; 3)$, ta cần sử dụng tính chất của vectơ vuông góc. Hai vectơ $\overrightarrow{u} = (u_1; u_2; u_3)$ và $\overrightarrow{v} = (v_1; v_2; v_3)$ vuông góc với nhau khi tích vô hướng của chúng bằng 0: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = 0 \] Áp dụng vào bài toán: 1. $\overrightarrow{c}$ vuông góc với $\overrightarrow{a}$: \[ x \cdot 1 + y \cdot 3 + z \cdot 4 = 0 \] \[ x + 3y + 4z = 0 \quad \text{(1)} \] 2. $\overrightarrow{c}$ vuông góc với $\overrightarrow{b}$: \[ x \cdot (-1) + y \cdot 2 + z \cdot 3 = 0 \] \[ -x + 2y + 3z = 0 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta giải hệ phương trình này để tìm mối liên hệ giữa $x$, $y$, và $z$. Từ phương trình (1): \[ x + 3y + 4z = 0 \quad \text{(1)} \] Từ phương trình (2): \[ -x + 2y + 3z = 0 \quad \text{(2)} \] Cộng phương trình (1) và phương trình (2): \[ (x + 3y + 4z) + (-x + 2y + 3z) = 0 \] \[ 5y + 7z = 0 \] \[ 5y = -7z \] \[ y = -\frac{7}{5}z \quad \text{(3)} \] Thay $y = -\frac{7}{5}z$ vào phương trình (1): \[ x + 3\left(-\frac{7}{5}z\right) + 4z = 0 \] \[ x - \frac{21}{5}z + 4z = 0 \] \[ x - \frac{21}{5}z + \frac{20}{5}z = 0 \] \[ x - \frac{1}{5}z = 0 \] \[ x = \frac{1}{5}z \quad \text{(4)} \] Từ (3) và (4), ta thấy: \[ y = -\frac{7}{5}z \] \[ x = \frac{1}{5}z \] Do đó, ta có: \[ 5z = x \] \[ 5z - x = 0 \] Vậy khẳng định đúng là: A. $5z - x = 0$. Câu 6. Để tìm các điểm \( M \) trong không gian thỏa mãn điều kiện \( AMB = BMC = CMA = 90^\circ \), ta cần xác định vị trí của \( M \) sao cho các tam giác \( AMB \), \( BMC \), và \( CMA \) đều vuông tại \( M \). 1. Xác định điều kiện vuông góc: - \( AMB = 90^\circ \) suy ra \( \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0 \) - \( BMC = 90^\circ \) suy ra \( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{CM} = 0 \) - \( CMA = 90^\circ \) suy ra \( \overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{AM} = 0 \) 2. Tìm các vectơ: - \( \overrightarrow{AM} = (x-2, y, z) \) - \( \overrightarrow{BM} = (x, y-2, z) \) - \( \overrightarrow{CM} = (x, y, z-2) \) 3. Áp dụng điều kiện vuông góc: - \( \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (x-2)x + y(y-2) + z^2 = 0 \) \[ x^2 - 2x + y^2 - 2y + z^2 = 0 \quad \text{(1)} \] - \( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{CM} = x^2 + (y-2)y + z(z-2) = 0 \) \[ x^2 + y^2 - 2y + z^2 - 2z = 0 \quad \text{(2)} \] - \( \overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{AM} = x(x-2) + y^2 + z(z-2) = 0 \) \[ x^2 - 2x + y^2 + z^2 - 2z = 0 \quad \text{(3)} \] 4. Giải hệ phương trình: - Từ (1) và (2): \[ x^2 - 2x + y^2 - 2y + z^2 = x^2 + y^2 - 2y + z^2 - 2z \] \[ -2x = -2z \quad \Rightarrow \quad x = z \] - Từ (1) và (3): \[ x^2 - 2x + y^2 - 2y + z^2 = x^2 - 2x + y^2 + z^2 - 2z \] \[ -2y = -2z \quad \Rightarrow \quad y = z \] - Kết hợp \( x = z \) và \( y = z \): \[ x = y = z \] 5. Thay vào phương trình (1): \[ x^2 - 2x + x^2 - 2x + x^2 = 0 \] \[ 3x^2 - 4x = 0 \] \[ x(3x - 4) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{4}{3} \] 6. Kiểm tra các trường hợp: - Nếu \( x = 0 \), thì \( y = 0 \) và \( z = 0 \). Điểm \( M(0,0,0) \) không thỏa mãn vì \( M \) không được trùng với \( A, B, C \). - Nếu \( x = \frac{4}{3} \), thì \( y = \frac{4}{3} \) và \( z = \frac{4}{3} \). Điểm \( M\left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right) \) thỏa mãn. Vậy có duy nhất một điểm \( M \) thỏa mãn điều kiện đề bài, đó là \( M\left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right) \). Đáp án: B. 1. Câu 7. Để tính $|\overrightarrow u + \overrightarrow v|$, ta sử dụng công thức tính độ dài tổng của hai vectơ: \[ |\overrightarrow u + \overrightarrow v|^2 = |\overrightarrow u|^2 + |\overrightarrow v|^2 + 2|\overrightarrow u||\overrightarrow v|\cos(\theta) \] Trong đó: - \( |\overrightarrow u| = 2 \) - \( |\overrightarrow v| = 5 \) - \( \theta = 120^\circ \) Biết rằng \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\), ta thay vào công thức: \[ |\overrightarrow u + \overrightarrow v|^2 = 2^2 + 5^2 + 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ |\overrightarrow u + \overrightarrow v|^2 = 4 + 25 - 10 \] \[ |\overrightarrow u + \overrightarrow v|^2 = 19 \] Do đó: \[ |\overrightarrow u + \overrightarrow v| = \sqrt{19} \] Vậy đáp án đúng là A. $\sqrt{19}$. Câu 8. Để tam giác MNP vuông tại N, ta cần có \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{PN} \) vuông góc với nhau, tức là \( \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{PN} = 0 \). Bước 1: Tìm các vectơ \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{PN} \). \( \overrightarrow{MN} = N - M = (-1 - 2; 1 - 3; 1 + 1) = (-3; -2; 2) \) \( \overrightarrow{PN} = N - P = (-1 - 1; 1 - (m-1); 1 - 2) = (-2; 2 - m; -1) \) Bước 2: Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{PN} \). \( \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{PN} = (-3) \cdot (-2) + (-2) \cdot (2 - m) + 2 \cdot (-1) \) \( = 6 - 4 + 2m - 2 \) \( = 2m \) Bước 3: Đặt tích vô hướng bằng 0 để tìm giá trị của m. \( 2m = 0 \) \( m = 0 \) Vậy đáp án đúng là B. \( m = 0 \). Câu 9. Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức thể tích của khối tứ diện được xác định bởi bốn điểm A, B, C, D trong không gian Oxyz: \[ V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) \right| \] Trước tiên, ta tìm các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2, -1 - 0, -2 - 2) = (-1, -1, -4) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - 2, 1 - 0, 0 - 2) = (-3, 1, -2) \] \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (-2 - 2, 1 - 0, 2 - 2) = (-4, 1, 0) \] Tiếp theo, ta tính tích vector $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}$: \[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 1 & -2 \\ -4 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - (-2) \cdot 1) - \mathbf{j}((-3) \cdot 0 - (-2) \cdot (-4)) + \mathbf{k}((-3) \cdot 1 - 1 \cdot (-4)) \] \[ = \mathbf{i}(0 + 2) - \mathbf{j}(0 - 8) + \mathbf{k}(-3 + 4) \] \[ = 2\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 1\mathbf{k} \] \[ = (2, 8, 1) \] Sau đó, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot (2, 8, 1) = (-1) \cdot 2 + (-1) \cdot 8 + (-4) \cdot 1 \] \[ = -2 - 8 - 4 \] \[ = -14 \] Cuối cùng, ta tính thể tích của khối tứ diện ABCD: \[ V = \frac{1}{6} \left| -14 \right| = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \] Vậy thể tích của khối tứ diện ABCD là $\frac{7}{3}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{7}{3}$. Câu 10. Để tìm giá trị của \( m \) sao cho \(\overrightarrow{a} = [\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vector \([\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}]\): \[ [\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ m & 3 & -1 \end{vmatrix} \] Ta mở rộng theo hàng đầu tiên: \[ [\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}] = \mathbf{i} \left(2 \cdot (-1) - 1 \cdot 3\right) - \mathbf{j} \left(1 \cdot (-1) - 1 \cdot m\right) + \mathbf{k} \left(1 \cdot 3 - 2 \cdot m\right) \] \[ = \mathbf{i} (-2 - 3) - \mathbf{j} (-1 - m) + \mathbf{k} (3 - 2m) \] \[ = \mathbf{i} (-5) - \mathbf{j} (-1 - m) + \mathbf{k} (3 - 2m) \] \[ = (-5; 1 + m; 3 - 2m) \] 2. So sánh với \(\overrightarrow{a}\): Ta có \(\overrightarrow{a} = (-5; 3; -1)\). Để \(\overrightarrow{a} = [\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}]\), ta cần: \[ (-5; 3; -1) = (-5; 1 + m; 3 - 2m) \] 3. Xác định giá trị của \( m \): So sánh từng thành phần: \[ 3 = 1 + m \quad \Rightarrow \quad m = 2 \] \[ -1 = 3 - 2m \quad \Rightarrow \quad -1 = 3 - 2 \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad -1 = 3 - 4 \quad \Rightarrow \quad -1 = -1 \] Như vậy, giá trị của \( m \) thỏa mãn là \( m = 2 \). Đáp án đúng là: D. \( m = 2 \). Câu 11. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{p}$ cùng hướng với tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{m}$ và $\overrightarrow{n}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{m}$ và $\overrightarrow{n}$: \[ \overrightarrow{m} = (4, 3, 1), \quad \overrightarrow{n} = (0, 0, 1) \] Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{m}$ và $\overrightarrow{n}$ được tính theo công thức: \[ [\overrightarrow{m}, \overrightarrow{n}] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(4 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(4 \cdot 0 - 3 \cdot 0) = (3, -4, 0) \] Bước 2: Xác định vectơ $\overrightarrow{p}$ cùng hướng với $(3, -4, 0)$ và có độ dài bằng 15: \[ |\overrightarrow{p}| = 15 \] Ta biết rằng: \[ |\overrightarrow{p}| = k \cdot |(3, -4, 0)| = 15 \] Trong đó, $k$ là hệ số tỷ lệ và: \[ |(3, -4, 0)| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Do đó: \[ k \cdot 5 = 15 \implies k = 3 \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{p}$ là: \[ \overrightarrow{p} = k \cdot (3, -4, 0) = 3 \cdot (3, -4, 0) = (9, -12, 0) \] Đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{p} = (9, -12, 0)$. Câu 12. Để bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) đồng phẳng, vectơ \(AB\), \(AC\), \(AD\) phải đồng phẳng. Điều này tương đương với việc tích vô hướng của ba vectơ này bằng 0. Ta tính các vectơ: \[ \overrightarrow{AB} = (a+3, 1, -1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (-4, -1, -2 + a) \] \[ \overrightarrow{AD} = (-1, 0, -3 + a) \] Tích vô hướng của ba vectơ này là: \[ \left| \begin{array}{ccc} a+3 & 1 & -1 \\ -4 & -1 & -2 + a \\ -1 & 0 & -3 + a \\ \end{array} \right| = 0 \] Ta mở rộng theo hàng thứ nhất: \[ (a+3) \left| \begin{array}{cc} -1 & -2 + a \\ 0 & -3 + a \\ \end{array} \right| - 1 \left| \begin{array}{cc} -4 & -2 + a \\ -1 & -3 + a \\ \end{array} \right| - 1 \left| \begin{array}{cc} -4 & -1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right| = 0 \] Tính các định thức 2x2: \[ \left| \begin{array}{cc} -1 & -2 + a \\ 0 & -3 + a \\ \end{array} \right| = (-1)(-3 + a) - (0)(-2 + a) = 3 - a \] \[ \left| \begin{array}{cc} -4 & -2 + a \\ -1 & -3 + a \\ \end{array} \right| = (-4)(-3 + a) - (-1)(-2 + a) = 12 - 4a - 2 + a = 10 - 3a \] \[ \left| \begin{array}{cc} -4 & -1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right| = (-4)(0) - (-1)(-1) = -1 \] Thay vào phương trình: \[ (a+3)(3 - a) - 1(10 - 3a) - 1(-1) = 0 \] \[ (a+3)(3 - a) - 10 + 3a + 1 = 0 \] \[ (a+3)(3 - a) + 3a - 9 = 0 \] \[ 9 - a^2 + 3a - 9 = 0 \] \[ -a^2 + 3a = 0 \] \[ a(-a + 3) = 0 \] Vậy \(a = 0\) hoặc \(a = 3\). Do đó, tập hợp các giá trị của \(a\) để bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) đồng phẳng là \(\{0, 3\}\). Tập hợp này là tập con của tập \(D. (-2; 2)\). Đáp án: D. \((-2; 2)\).