câu 3 , 4 nha

Câu 1. Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 9 giây, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Do đó, ta có: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = -t^2 + 12t \] 2. Tìm điểm cực đại của hàm số vận tốc: Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tìm điểm cực đại của hàm số \(v(t)\). Ta làm như sau: - Tính đạo hàm của \(v(t)\): \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-t^2 + 12t) = -2t + 12 \] - Tìm giá trị của \(t\) sao cho \(v'(t) = 0\): \[ -2t + 12 = 0 \implies t = 6 \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực đại: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \(v(t)\): \[ v''(t) = \frac{d}{dt}(-2t + 12) = -2 \] Vì \(v''(t) < 0\), nên \(t = 6\) là điểm cực đại của hàm số \(v(t)\). 4. Tính vận tốc tại điểm cực đại: Thay \(t = 6\) vào công thức của vận tốc: \[ v(6) = -(6)^2 + 12 \cdot 6 = -36 + 72 = 36 \text{ m/s} \] 5. Kiểm tra biên của khoảng thời gian: Ta cũng cần kiểm tra vận tốc tại các biên của khoảng thời gian 0 đến 9 giây: - Tại \(t = 0\): \[ v(0) = -(0)^2 + 12 \cdot 0 = 0 \text{ m/s} \] - Tại \(t = 9\): \[ v(9) = -(9)^2 + 12 \cdot 9 = -81 + 108 = 27 \text{ m/s} \] So sánh các giá trị vận tốc tại các điểm: - \(v(0) = 0 \text{ m/s}\) - \(v(6) = 36 \text{ m/s}\) - \(v(9) = 27 \text{ m/s}\) Như vậy, vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 9 giây là 36 m/s, đạt được khi \(t = 6\) giây. Đáp số: Vận tốc lớn nhất của vật là 36 m/s, đạt được khi \(t = 6\) giây. Câu 2. Để xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 1}{f^2(x) - f(x)} \), chúng ta cần xem xét các trường hợp sau: 1. Tiệm cận đứng: Các giá trị \( x \) làm mẫu số bằng 0. 2. Tiệm cận ngang: Giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng. Bước 1: Tìm các giá trị \( x \) làm mẫu số bằng 0 Mẫu số của hàm số là \( f^2(x) - f(x) \). Ta cần giải phương trình: \[ f^2(x) - f(x) = 0 \] \[ f(x)(f(x) - 1) = 0 \] Từ đây, ta có hai trường hợp: - \( f(x) = 0 \) - \( f(x) = 1 \) Dựa vào đồ thị của hàm số \( y = f(x) \): - \( f(x) = 0 \) tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). - \( f(x) = 1 \) tại \( x = 0 \). Do đó, các giá trị \( x \) làm mẫu số bằng 0 là \( x = -1 \), \( x = 0 \), và \( x = 1 \). Đây là các điểm có thể tạo thành tiệm cận đứng. Bước 2: Kiểm tra giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến các giá trị trên Ta cần kiểm tra giới hạn của hàm số \( y = \frac{x^2 - 1}{f^2(x) - f(x)} \) khi \( x \) tiến đến các giá trị \( x = -1 \), \( x = 0 \), và \( x = 1 \). Tại \( x = -1 \): \[ \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{f^2(x) - f(x)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x-1)}{f(x)(f(x) - 1)} \] Khi \( x \to -1 \), \( f(x) \to 0 \). Do đó: \[ \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x-1)}{f(x)(f(x) - 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x-1)}{0 \cdot (-1)} = \text{không xác định} \] Tại \( x = 0 \): \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{f^2(x) - f(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+1)(x-1)}{f(x)(f(x) - 1)} \] Khi \( x \to 0 \), \( f(x) \to 1 \). Do đó: \[ \lim_{x \to 0} \frac{(x+1)(x-1)}{f(x)(f(x) - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+1)(x-1)}{1 \cdot 0} = \text{không xác định} \] Tại \( x = 1 \): \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{f^2(x) - f(x)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{f(x)(f(x) - 1)} \] Khi \( x \to 1 \), \( f(x) \to 0 \). Do đó: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{f(x)(f(x) - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{0 \cdot (-1)} = \text{không xác định} \] Bước 3: Kiểm tra giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 1}{f^2(x) - f(x)} \] Khi \( x \to \pm\infty \), \( f(x) \to 0 \). Do đó: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 1}{f^2(x) - f(x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 1}{0 - 0} = \text{không xác định} \] Kết luận Hàm số \( y = \frac{x^2 - 1}{f^2(x) - f(x)} \) có 3 tiệm cận đứng tại \( x = -1 \), \( x = 0 \), và \( x = 1 \). Không có tiệm cận ngang. Đáp số: Số tiệm cận của đồ thị hàm số là 3. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng liên quan: - Thể tích của bể: \( V = 200 \, m^3 \) - Chiều dài đáy bể: \( l \) - Chiều rộng đáy bể: \( w \) - Chiều cao bể: \( h \) 2. Liên hệ giữa các đại lượng: - Chiều dài gấp đôi chiều rộng: \( l = 2w \) - Thể tích của bể: \( V = l \times w \times h \) 3. Thay các đại lượng vào công thức thể tích: \[ 200 = (2w) \times w \times h \] \[ 200 = 2w^2h \] \[ h = \frac{200}{2w^2} = \frac{100}{w^2} \] 4. Tính diện tích toàn phần của bể (không tính nắp): Diện tích toàn phần \( S \) bao gồm diện tích đáy và diện tích các mặt bên: \[ S = lw + 2lh + 2wh \] Thay \( l = 2w \) và \( h = \frac{100}{w^2} \): \[ S = 2w^2 + 2(2w)\left(\frac{100}{w^2}\right) + 2w\left(\frac{100}{w^2}\right) \] \[ S = 2w^2 + 400\left(\frac{2}{w}\right) + 200\left(\frac{1}{w}\right) \] \[ S = 2w^2 + \frac{800}{w} + \frac{200}{w} \] \[ S = 2w^2 + \frac{1000}{w} \] 5. Tính chi phí xây dựng: Chi phí \( C \) để xây dựng bể: \[ C = 350 \times S = 350 \times \left(2w^2 + \frac{1000}{w}\right) \] \[ C = 700w^2 + \frac{350000}{w} \] 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí \( C \): Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( C \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( C \) theo \( w \) và tìm điểm cực tiểu: \[ \frac{dC}{dw} = 1400w - \frac{350000}{w^2} \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: \[ 1400w - \frac{350000}{w^2} = 0 \] \[ 1400w = \frac{350000}{w^2} \] \[ 1400w^3 = 350000 \] \[ w^3 = \frac{350000}{1400} = 250 \] \[ w = \sqrt[3]{250} \approx 6.30 \] 7. Tính giá trị của \( C \) tại \( w = 6.30 \): \[ C = 700(6.30)^2 + \frac{350000}{6.30} \] \[ C \approx 700 \times 39.69 + 55555.56 \] \[ C \approx 27783 + 55555.56 \] \[ C \approx 83338.56 \text{ (nghìn đồng)} \] \[ C \approx 83.34 \text{ (triệu đồng)} \] Vậy, chi phí thấp nhất để xây bể là khoảng 83 triệu đồng. Câu 4. Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( m \) sao cho tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu tiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( f(t) \) và đảm bảo đạo hàm này luôn dương trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm. Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(t) \). \[ f(t) = 500(t^2 + me^{-t}) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm tổng và đạo hàm của hàm số mũ: \[ f'(t) = 500 \left( 2t + m(-e^{-t}) \right) \] \[ f'(t) = 500 \left( 2t - me^{-t} \right) \] Bước 2: Đảm bảo \( f'(t) > 0 \) trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm. \[ 500 \left( 2t - me^{-t} \right) > 0 \] Chia cả hai vế cho 500: \[ 2t - me^{-t} > 0 \] Bước 3: Tìm điều kiện của \( m \) để bất đẳng thức trên luôn đúng trong khoảng \( 0 \leq t \leq 10 \). \[ 2t > me^{-t} \] Chia cả hai vế cho \( e^{-t} \): \[ 2te^{t} > m \] Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( m \) bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của \( 2te^{t} \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 10 \). Xét hàm số \( g(t) = 2te^{t} \). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( g(t) \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 10 \). Tính đạo hàm của \( g(t) \): \[ g'(t) = 2(e^{t} + te^{t}) \] \[ g'(t) = 2e^{t}(1 + t) \] Đạo hàm \( g'(t) \) luôn dương vì \( e^{t} > 0 \) và \( 1 + t > 0 \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 10 \). Do đó, hàm số \( g(t) \) là hàm số đồng biến trong khoảng này. Giá trị nhỏ nhất của \( g(t) \) sẽ xảy ra tại \( t = 0 \): \[ g(0) = 2 \cdot 0 \cdot e^{0} = 0 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( m \) là 0. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( m \) là 0. Câu 5. Trước tiên, ta cần hiểu rằng lực căng của mỗi đoạn xích sẽ chia đều lực của vật cần cân. Vì có 4 đoạn xích, nên mỗi đoạn xích sẽ chịu một phần tư lực của vật. Lực của vật cần cân là: \[ F = m \cdot g = 3 \, \text{kg} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 = 30 \, \text{N} \] Do đó, lực căng của mỗi đoạn xích là: \[ F_{xich} = \frac{F}{4} = \frac{30 \, \text{N}}{4} = 7.5 \, \text{N} \] Theo đề bài, độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích có dạng: \[ F_{xich} = \frac{a \sqrt{2}}{4} \] Ta đặt: \[ \frac{a \sqrt{2}}{4} = 7.5 \] Giải phương trình này để tìm giá trị của \( a \): \[ a \sqrt{2} = 7.5 \times 4 \] \[ a \sqrt{2} = 30 \] \[ a = \frac{30}{\sqrt{2}} \] \[ a = \frac{30 \sqrt{2}}{2} \] \[ a = 15 \sqrt{2} \] Vậy giá trị của \( a \) là: \[ a = 15 \sqrt{2} \]