Trả lời đáp án cho tôi

Câu 3. a) Tọa độ trung điểm của BC là $(\frac13;\frac53;3).$ Để kiểm tra, ta tính tọa độ trung điểm của BC: \[ M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) = \left( \frac{3 + (-2)}{2}, \frac{-2 + 5}{2}, \frac{1 + 7}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 4 \right) \] Vậy mệnh đề này là sai. b) Độ dài đoạn thẳng AB là 5. Ta tính độ dài đoạn thẳng AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - 2)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Vậy mệnh đề này là đúng. c) Côsin BAC bằng $\frac{-18}{35}.$ Ta tính các vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CA}$: \[ \overrightarrow{BA} = A - B = (0 - 3, 2 - (-2), 1 - 1) = (-3, 4, 0) \] \[ \overrightarrow{CA} = A - C = (0 - (-2), 2 - 5, 1 - 7) = (2, -3, -6) \] Tính tích vô hướng $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA}$: \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot (-3) + 0 \cdot (-6) = -6 - 12 + 0 = -18 \] Tính độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] \[ |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \] Côsin góc BAC: \[ \cos(\angle BAC) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{CA}|} = \frac{-18}{5 \cdot 7} = \frac{-18}{35} \] Vậy mệnh đề này là đúng. d) Tọa độ $\overrightarrow{AB}$ là $(3;-4;0).$ Ta tính vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 0, -2 - 2, 1 - 1) = (3, -4, 0) \] Vậy mệnh đề này là đúng. Kết luận: - a) Sai - b) Đúng - c) Đúng - d) Đúng Câu 4. a) Ta có: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BS}\right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BD}$ cùng hướng. b) Ta có: $\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{CB}$ $\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{AD}$ Mà $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AD}$ là hai vectơ khác nhau nên $\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SC}\neq \overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SA}.$ c) Ta có: $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}=SA\times SC\times \cos \widehat{ASC}$ $=3a\times 3a\times \cos 30{}^\circ =\frac{9\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}$ Mặt khác: $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}=(0;0;3a)\times (a;a;3a)=9{{a}^{2}}$ Vậy $\frac{9\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}=9{{a}^{2}}$ (loại) d) Ta có: $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}$ $=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(0;a,-a)=(0;\frac{a}{2};-\frac{a}{2})$ $\Rightarrow |\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}|=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ Câu 1: Hai vectơ $\overrightarrow{a} = (m+2, 5, -2)$ và $\overrightarrow{b} = (3, 3n, 1)$ cùng phương nếu tồn tại một số thực $k$ sao cho: \[ \overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b} \] Tức là: \[ (m+2, 5, -2) = k \cdot (3, 3n, 1) \] Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} m + 2 = 3k \\ 5 = 3nk \\ -2 = k \end{cases} \] Từ phương trình thứ ba: \[ k = -2 \] Thay $k = -2$ vào phương trình thứ hai: \[ 5 = 3n(-2) \] \[ 5 = -6n \] \[ n = -\frac{5}{6} \] Thay $k = -2$ vào phương trình thứ nhất: \[ m + 2 = 3(-2) \] \[ m + 2 = -6 \] \[ m = -8 \] Vậy giá trị của $m + n$ là: \[ m + n = -8 + \left( -\frac{5}{6} \right) = -8 - \frac{5}{6} = -\frac{48}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{53}{6} \] Đáp số: $m + n = -\frac{53}{6}$ Câu 2: Để tìm tọa độ của điểm \( M(a; b; c) \) sao cho \(\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các vectơ \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\): - Vectơ \(\overrightarrow{MA}\) có tọa độ là: \[ \overrightarrow{MA} = (1 - a, 3 - b, -1 - c) \] - Vectơ \(\overrightarrow{MB}\) có tọa độ là: \[ \overrightarrow{MB} = (3 - a, -1 - b, 5 - c) \] 2. Áp dụng điều kiện \(\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}\): - Ta có: \[ (1 - a, 3 - b, -1 - c) = 3(3 - a, -1 - b, 5 - c) \] - Điều này dẫn đến ba phương trình sau: \[ 1 - a = 3(3 - a) \] \[ 3 - b = 3(-1 - b) \] \[ -1 - c = 3(5 - c) \] 3. Giải các phương trình: - Từ phương trình thứ nhất: \[ 1 - a = 9 - 3a \implies 2a = 8 \implies a = 4 \] - Từ phương trình thứ hai: \[ 3 - b = -3 - 3b \implies 2b = -6 \implies b = -3 \] - Từ phương trình thứ ba: \[ -1 - c = 15 - 3c \implies 2c = 16 \implies c = 8 \] 4. Tính \(a + b + c\): - Ta có: \[ a + b + c = 4 + (-3) + 8 = 9 \] Vậy, giá trị của \(a + b + c\) là \(\boxed{9}\). Câu 3: Để tam giác ABC vuông tại A, ta cần có AB ⊥ AC, tức là tích vô hướng của hai vectơ AB và AC bằng 0. Bước 1: Tính vectơ AB và AC. \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 1, 3 + 2, 5 - 4) = (-3, 5, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - 1, -2m + 2, 3 - 4) = (-2, -2m + 2, -1) \] Bước 2: Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3)(-2) + (5)(-2m + 2) + (1)(-1) \] \[ = 6 + 5(-2m + 2) - 1 \] \[ = 6 - 10m + 10 - 1 \] \[ = 15 - 10m \] Bước 3: Đặt tích vô hướng bằng 0 để tìm m. \[ 15 - 10m = 0 \] \[ 10m = 15 \] \[ m = \frac{15}{10} \] \[ m = \frac{3}{2} \] Vậy giá trị của m để tam giác ABC vuông tại A là: \[ m = \frac{3}{2} \] Câu 4. Để tìm tọa độ của điểm H, ta cần xác định phương trình đường thẳng BC và điều kiện để AH vuông góc với BC. 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng BC: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (2-5, 1-0, 3-0) = (-3, 1, 3) \] 2. Phương trình tham số của đường thẳng BC: \[ \begin{cases} x = 5 - 3t \\ y = t \\ z = 3t \end{cases} \] Trong đó, \( t \) là tham số. 3. Tọa độ của điểm H trên đường thẳng BC: \[ H(x_0, y_0, z_0) = (5 - 3t, t, 3t) \] 4. Vectơ AH: \[ \overrightarrow{AH} = H - A = (5 - 3t - 0, t - 3, 3t - 0) = (5 - 3t, t - 3, 3t) \] 5. Điều kiện AH vuông góc với BC: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \] Thay vào: \[ (5 - 3t)(-3) + (t - 3)(1) + (3t)(3) = 0 \] \[ -15 + 9t + t - 3 + 9t = 0 \] \[ 19t - 18 = 0 \] \[ t = \frac{18}{19} \] 6. Tọa độ của điểm H: \[ x_0 = 5 - 3 \left(\frac{18}{19}\right) = 5 - \frac{54}{19} = \frac{95}{19} - \frac{54}{19} = \frac{41}{19} \] \[ y_0 = \frac{18}{19} \] \[ z_0 = 3 \left(\frac{18}{19}\right) = \frac{54}{19} \] 7. Tính tổng \( x_0 + y_0 + z_0 \): \[ x_0 + y_0 + z_0 = \frac{41}{19} + \frac{18}{19} + \frac{54}{19} = \frac{113}{19} \approx 5.95 \] Vậy \( x_0 + y_0 + z_0 \approx 5.95 \). Đáp số: \( x_0 + y_0 + z_0 \approx 5.95 \). Câu 5. Để tính tổng \( P = x + y + z \) của điểm \( D(x; y; z) \) trong hình bình hành \( ABCD \), ta cần xác định tọa độ của điểm \( D \). Trong hình bình hành, trung điểm của hai đường chéo trùng nhau. Do đó, ta có: \[ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right) \] Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \( AC \): \[ M = \left( \frac{0 + (-2)}{2}, \frac{2 + 5}{2}, \frac{1 + 7}{2} \right) = \left( -1, \frac{7}{2}, 4 \right) \] Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \( BD \): \[ M = \left( \frac{3 + x}{2}, \frac{-2 + y}{2}, \frac{1 + z}{2} \right) \] Bằng cách so sánh hai biểu thức trên, ta có: \[ \frac{3 + x}{2} = -1 \] \[ \frac{-2 + y}{2} = \frac{7}{2} \] \[ \frac{1 + z}{2} = 4 \] Giải các phương trình này: \[ 3 + x = -2 \Rightarrow x = -5 \] \[ -2 + y = 7 \Rightarrow y = 9 \] \[ 1 + z = 8 \Rightarrow z = 7 \] Vậy tọa độ của điểm \( D \) là \( (-5; 9; 7) \). Tổng \( P = x + y + z \): \[ P = -5 + 9 + 7 = 11 \] Đáp số: \( P = 11 \) Câu 6: Để tìm lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm trong một ngày, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm doanh thu: Doanh thu khi bán x mét vải lụa là: \[ R(x) = 200x \] 2. Tìm lợi nhuận: Lợi nhuận \( L(x) \) khi bán x mét vải lụa là: \[ L(x) = R(x) - C(x) \] Thay \( R(x) \) và \( C(x) \) vào: \[ L(x) = 200x - (x^3 - 2x^2 + 40x + 400) \] \[ L(x) = 200x - x^3 + 2x^2 - 40x - 400 \] \[ L(x) = -x^3 + 2x^2 + 160x - 400 \] 3. Tìm giá trị cực đại của \( L(x) \): Để tìm giá trị cực đại của \( L(x) \), chúng ta cần tính đạo hàm của \( L(x) \) và tìm điểm cực đại. Tính đạo hàm \( L'(x) \): \[ L'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 2x^2 + 160x - 400) \] \[ L'(x) = -3x^2 + 4x + 160 \] Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình \( L'(x) = 0 \): \[ -3x^2 + 4x + 160 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, giải phương trình này: \[ 3x^2 - 4x - 160 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( c = -160 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-160)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 1920}}{6} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{1936}}{6} \] \[ x = \frac{4 \pm 44}{6} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{4 + 44}{6} = \frac{48}{6} = 8 \] \[ x_2 = \frac{4 - 44}{6} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3} \] Vì \( x \) phải nằm trong khoảng \( [1, 15] \), ta loại nghiệm \( x_2 = -\frac{20}{3} \). Vậy \( x = 8 \) là điểm cực đại. 4. Kiểm tra giá trị của \( L(x) \) tại các điểm biên và điểm cực đại: - Tại \( x = 1 \): \[ L(1) = -(1)^3 + 2(1)^2 + 160(1) - 400 = -1 + 2 + 160 - 400 = -239 \] - Tại \( x = 8 \): \[ L(8) = -(8)^3 + 2(8)^2 + 160(8) - 400 = -512 + 128 + 1280 - 400 = 596 \] - Tại \( x = 15 \): \[ L(15) = -(15)^3 + 2(15)^2 + 160(15) - 400 = -3375 + 450 + 2400 - 400 = -925 \] So sánh các giá trị trên, ta thấy \( L(8) = 596 \) là giá trị lớn nhất. Kết luận: Lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm trong một ngày là 596 nghìn đồng, đạt được khi sản xuất 8 mét vải lụa.