Một thanh dầm hình hộp chữ nhật được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy bằng 20cm sao cho thanh dầm có diện tích mặt cắt ngang lớn nhất, tức là thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông. Sau kh...

Để giải bài toán này, ta cần xác định diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván hình hộp chữ nhật được cắt từ phần còn lại của khúc gỗ hình trụ. Bước 1: Xác định kích thước của thanh dầm hình vuông Thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông lớn nhất có thể được cắt từ khúc gỗ hình trụ. Đường chéo của hình vuông này chính là đường kính của hình tròn, tức là 40 cm (vì bán kính là 20 cm). Gọi cạnh của hình vuông là \( x \). Theo định lý Pythagore, ta có: \[ x\sqrt{2} = 40 \] Giải phương trình trên: \[ x = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} \, \text{cm} \] Bước 2: Diện tích mặt cắt ngang của thanh dầm Diện tích mặt cắt ngang của thanh dầm là: \[ x^2 = (20\sqrt{2})^2 = 800 \, \text{cm}^2 \] Bước 3: Xác định diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván Sau khi cắt thanh dầm, phần còn lại của khúc gỗ là bốn hình quạt tròn. Mỗi tấm ván hình hộp chữ nhật có thể được cắt từ một trong bốn phần này. Mỗi tấm ván có mặt cắt ngang là một hình chữ nhật nằm trong một hình quạt tròn có bán kính 20 cm và góc 45 độ (vì hình vuông chia hình tròn thành bốn phần bằng nhau). Diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván là diện tích hình chữ nhật lớn nhất có thể nằm trong hình quạt tròn này. Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là \( a \) và \( b \). Ta có: \[ a \leq 20 \quad \text{và} \quad b \leq 20 \] Do hình chữ nhật nằm trong hình quạt tròn, ta có: \[ a^2 + b^2 \leq 20^2 \] Để diện tích \( ab \) lớn nhất, ta chọn \( a = b \). Khi đó: \[ 2a^2 \leq 400 \implies a^2 \leq 200 \implies a \leq \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \] Diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván là: \[ ab = a^2 = (10\sqrt{2})^2 = 200 \, \text{cm}^2 \] Vậy, diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván là 200 cm².