Giải hộ mình câu này với các bạn [TNY 3] Người ta muốn đục từ khối trụ đặc bằng gỗ ra một khối hình hộp chữ nhật như hình,vẽ. Biết rằng mặt cắt ngang của khối hộp chữ nhật là một hình chữ nhật ABCD với hai đỉnh,A,D thuộc đường tròn và hai đỉnh B,C thuộc hai cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn,như hình vẽ. Biết rằng bán kính đường tròn đáy của khối trụ bằng 4(m). Xác định diện tích lớn,nhất của hình chữ nhật ABCD.,

Question

Accepted Answer

Để xác định diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $ABCD$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện và thông số:

- Bán kính đường tròn đáy của khối trụ là $R = 4$ m.
   - Tam giác $BMC$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn, do đó $BM = MC = BC$.

2. Tính toán:

- Gọi $O$ là tâm của đường tròn, $M$ là trung điểm của cung $BC$ không chứa $A$ và $D$.
   - Do $BMC$ là tam giác đều, góc $\angle BOC = 120^\circ$.

3. Tính độ dài $BC$:

- Sử dụng định lý cosin trong tam giác $BOC$:
     $$
     BC^2 = BO^2 + CO^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(120^\circ)
     $$
     $$
     BC^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
     $$
     $$
     BC^2 = 16 + 16 + 16 = 48 \Rightarrow BC = 4\sqrt{3}
     $$

4. Tính diện tích hình chữ nhật $ABCD$:

- Gọi $h$ là chiều cao của hình chữ nhật từ $AB$ đến $CD$.
   - Diện tích $S$ của hình chữ nhật là:
     $$
     S = AB \cdot h
     $$
   - Do $AB = CD = BC = 4\sqrt{3}$, ta cần tối ưu hóa $h$.

5. Tối ưu hóa chiều cao $h$:

- $h$ đạt giá trị lớn nhất khi $A$ và $D$ nằm trên đường kính vuông góc với $BC$.
   - Khi đó, $h = R = 4$.

6. Kết luận:

- Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $ABCD$ là:
     $$
     S_{\text{max}} = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3} \, \text{m}^2
     $$

Vậy, diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $ABCD$ là $16\sqrt{3}$ m².