Một nhà sản xuất trung bình bán được $1000$ ti vi mỗi tuần với giá $14$ triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán $500$ nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng $100$ ti vi mỗi tuần. Nếu hàm chi phí hàng tuần là $C(x)=12000-3x$ (triệu đồng), trong đó $x$ là số ti vi bán ra ở tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán (triệu đồng) như thế nào để lợi nhuận lớn nhất?

Question

Accepted Answer

Giả sử giá bán của ti vi giảm đi $500$ nghìn đồng $k$ lần thì giá bán mới của ti vi là $14-0,5k$ (triệu đồng). Số ti vi bán ra trong một tuần là $1000+100k$ (chiếc).

Lợi nhuận thu được từ việc bán ti vi là:
$$
(14 - 0,5k)(1000 + 100k)
$$
Chi phí sản xuất $1000+100k$ chiếc ti vi là:
$$
C(1000+100k) = 12000 - 3(1000+100k) = 9000 - 300k \text{ (triệu đồng)}
$$

Tổng lợi nhuận $P(k)$ là:
$$
P(k) = (14 - 0,5k)(1000 + 100k) - (9000 - 300k)
$$

Ta mở rộng và đơn giản hóa biểu thức trên:
$$
P(k) = (14 - 0,5k)(1000 + 100k) - 9000 + 300k
$$
$$
= 14000 + 1400k - 500k - 50k^2 - 9000 + 300k
$$
$$
= 5000 + 1200k - 50k^2
$$

Để tìm giá trị lớn nhất của $P(k)$, ta lấy đạo hàm của $P(k)$ theo $k$ và đặt bằng 0:
$$
P&#x27;(k) = 1200 - 100k
$$
$$
1200 - 100k = 0 \implies k = 12
$$

Kiểm tra dấu của $P&#x27;&#x27;(k)$:
$$
P&#x27;&#x27;(k) = -100 < 0
$$
Do đó, $P(k)$ đạt giá trị lớn nhất tại $k = 12$.

Vậy giá bán mới của ti vi là:
$$
14 - 0,5 \times 12 = 14 - 6 = 8 \text{ (triệu đồng)}
$$

Như vậy, nhà sản xuất nên đặt giá bán là 8 triệu đồng để lợi nhuận lớn nhất.

Một nhà sản xuất trung bình bán được \(1000\) ti vi mỗi tuần với giá \(14\) triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán \(500\) nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra...