làm tự luận

Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng (trung vị) của mẫu số liệu: - Đầu tiên, chúng ta cần tính trung bình cộng của các khoảng dữ liệu đã cho. - Các khoảng dữ liệu là: [19; 19,5), [19,5; 20), [20; 20,5), [20,5; 21), [21; 21,5). Ta lấy trung điểm của mỗi khoảng: - Trung điểm của [19; 19,5) là: $\frac{19 + 19,5}{2} = 19,25$ - Trung điểm của [19,5; 20) là: $\frac{19,5 + 20}{2} = 19,75$ - Trung điểm của [20; 20,5) là: $\frac{20 + 20,5}{2} = 20,25$ - Trung điểm của [20,5; 21) là: $\frac{20,5 + 21}{2} = 20,75$ - Trung điểm của [21; 21,5) là: $\frac{21 + 21,5}{2} = 21,25$ Bây giờ, chúng ta tính trung bình cộng của các giá trị này theo tần số tương ứng: \[ \bar{x} = \frac{(19,25 \times 13) + (19,75 \times 45) + (20,25 \times 24) + (20,75 \times 12) + (21,25 \times 6)}{13 + 45 + 24 + 12 + 6} \] \[ \bar{x} = \frac{250,25 + 888,75 + 486 + 249 + 127,5}{100} = \frac{2001,5}{100} = 20,015 \] 2. Tính phương sai (variance): - Phương sai được tính bằng cách lấy bình phương hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng, rồi chia tổng số lượng dữ liệu. \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] - Với \( n = 100 \): \[ s^2 = \frac{(13 \times (19,25 - 20,015)^2) + (45 \times (19,75 - 20,015)^2) + (24 \times (20,25 - 20,015)^2) + (12 \times (20,75 - 20,015)^2) + (6 \times (21,25 - 20,015)^2)}{100} \] \[ s^2 = \frac{(13 \times (-0,765)^2) + (45 \times (-0,265)^2) + (24 \times 0,235^2) + (12 \times 0,735^2) + (6 \times 1,235^2)}{100} \] \[ s^2 = \frac{(13 \times 0,585225) + (45 \times 0,070225) + (24 \times 0,055225) + (12 \times 0,540225) + (6 \times 1,525225)}{100} \] \[ s^2 = \frac{7,607925 + 3,159125 + 1,3254 + 6,4827 + 9,15135}{100} = \frac{27,7265}{100} = 0,277265 \] 3. Tính độ lệch chuẩn (standard deviation): - Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0,277265} \approx 0,5265 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó là khoảng 0,53 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 6. Để tìm thời điểm nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( C(t) = \frac{t}{t^2 + 1} \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( C(t) \): \[ C'(t) = \frac{(t^2 + 1) - t(2t)}{(t^2 + 1)^2} = \frac{t^2 + 1 - 2t^2}{(t^2 + 1)^2} = \frac{1 - t^2}{(t^2 + 1)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( C'(t) = 0 \): \[ \frac{1 - t^2}{(t^2 + 1)^2} = 0 \] \[ 1 - t^2 = 0 \] \[ t^2 = 1 \] \[ t = 1 \text{ hoặc } t = -1 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm \( C'(t) \) để xác định tính chất của các điểm cực trị: - Khi \( t < -1 \), \( 1 - t^2 < 0 \), do đó \( C'(t) < 0 \). - Khi \( -1 < t < 1 \), \( 1 - t^2 > 0 \), do đó \( C'(t) > 0 \). - Khi \( t > 1 \), \( 1 - t^2 < 0 \), do đó \( C'(t) < 0 \). Từ đây, ta thấy: - \( C'(t) \) chuyển từ âm sang dương tại \( t = -1 \), do đó \( t = -1 \) là điểm cực tiểu. - \( C'(t) \) chuyển từ dương sang âm tại \( t = 1 \), do đó \( t = 1 \) là điểm cực đại. Bước 4: Kiểm tra giá trị của \( C(t) \) tại các điểm cực trị: \[ C(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = \frac{-1}{2} = -0.5 \] \[ C(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5 \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( C(t) \) là 0.5, đạt được khi \( t = 1 \). Kết luận: Sau khi tiêm thuốc, nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất sau 1 giờ. Câu 7. a) Xác định tọa độ của mỗi chiếc khinh khí cầu: - Chiếc thứ nhất: Cách điểm xuất phát 2 km về phía nam, 1 km về phía đông và 0,5 km trên mặt đất. Do đó, tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ nhất là \( A(2, 1, 0,5) \). - Chiếc thứ hai: Cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc, 1,5 km về phía tây và 0,8 km trên mặt đất. Do đó, tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ hai là \( B(-1, -1,5, 0,8) \). b) Tính khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu: - Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] - Thay tọa độ của \( A \) và \( B \) vào công thức: \[ d(A, B) = \sqrt{((-1) - 2)^2 + ((-1,5) - 1)^2 + (0,8 - 0,5)^2} \] \[ d(A, B) = \sqrt{(-3)^2 + (-2,5)^2 + (0,3)^2} \] \[ d(A, B) = \sqrt{9 + 6,25 + 0,09} \] \[ d(A, B) = \sqrt{15,34} \] \[ d(A, B) \approx 3,92 \text{ km} \] Vậy khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là khoảng 3,92 km.