Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1. a. Ta có $\angle POQ=180^\circ-\angle OCP-\angle OQC=180^\circ-2\angle OCP$ Mà $\angle OCP=\frac12\angle COD=\frac12(180^\circ-\angle COB)=90^\circ-\frac12\angle COB$ Do đó $\angle POQ=180^\circ-2(90^\circ-\frac12\angle COB)=\angle COB=\angle AOB$ $\angle ADB=\frac12\angle AOB$ (góc nội tiếp chắn cung AB) Vậy $\angle POQ=\frac12\angle AOB=\angle ADB$ b. Ta có $\angle OKQ=\angle OMQ=\angle OCM=\angle DHA$ (hai cặp góc so le trong) $\angle OQK=\angle ODK=\angle DAH$ (hai cặp góc nội tiếp cùng chắn cung OD) Vậy $\Delta OKQ\sim\Delta DHA$ c. Ta có $\frac{OK}{OD}=\frac{OQ}{AH}=\frac{KQ}{HA}$ (tỉ số đồng dạng) Mà K là trung điểm của PQ nên $\frac{OK}{OD}=\frac{KQ}{HA}=\frac12$ Vậy $\frac{OK}{OD}=\frac{OI}{OC}=\frac12$ Suy ra I là trung điểm của MC. Bài 2. a. Ta có: $\widehat{AEP}=\widehat{AFQ}=90^\circ$ $\Rightarrow$ Tứ giác AEQF nội tiếp. $\Rightarrow \widehat{AEQ}=\widehat{AFQ}=90^\circ$ $\Rightarrow EQ\perp AF, FQ\perp AE$ $\Rightarrow Q$ là trực tâm của $\triangle AEF$ $\Rightarrow AQ\perp EF$ Mà $PQ$ là đường trung bình của $\triangle ABC$ $\Rightarrow PQ\parallel BC$ $\Rightarrow \widehat{APQ}=\widehat{ABC}$ $\Rightarrow \widehat{AQP}=\widehat{ACB}$ $\Rightarrow \widehat{EQP}=\widehat{EFP}=90^\circ$ $\Rightarrow$ Tứ giác PEQF nội tiếp. Ta có: $DP=DA-PA=DA-\frac{AB}{2}$ $DQ=DA-AQ=DA-\frac{AC}{2}$ Mà $DA=\frac{AB\times AC}{BC}$ $\Rightarrow DP=DQ$ $\Rightarrow$ Tứ giác PEQF cân tại đỉnh D. $\Rightarrow K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PEQF. b. Ta có: $\widehat{IEQ}=\widehat{IFQ}$ $\Rightarrow \widehat{IEQ}+\widehat{QEA}=\widehat{IFQ}+\widehat{QFA}$ $\Rightarrow \widehat{IEA}=\widehat{IFA}$ $\Rightarrow$ Tứ giác AEIF nội tiếp. $\Rightarrow \widehat{AIE}=\widehat{AFE}$ $\Rightarrow \widehat{AIP}=\widehat{ADF}$ $\Rightarrow AI\parallel DF$ Mà $DF\perp DO$ $\Rightarrow AI\perp DO$. Bài 3. Để chứng minh các điểm H, O, I, C, S cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chứng minh các điểm H, O, I, C cùng thuộc một đường tròn: - Vì tam giác ABC vuông tại C và nội tiếp đường tròn (O), nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O là trung điểm của AB. - Ta có đường cao CH của tam giác ABC, do đó H là chân đường cao hạ từ C xuống AB. - Trung điểm I của BC cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó, các điểm H, O, I, C đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2. Chứng minh điểm S cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: - Ta có đường thẳng DH cắt EI tại S. - Vì E là trung điểm của AD và I là trung điểm của BC, nên EI là đường trung bình của tam giác ABD. - Do đó, đường thẳng EI song song với BD và chia đôi đoạn thẳng AD và BD. Ta cần chứng minh rằng điểm S nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. - Vì đường thẳng EI song song với BD, nên góc ESI bằng góc BDI (góc đồng vị). - Ta có góc BDI bằng góc BCI (vì BCI là góc nội tiếp chắn cung BI). - Do đó, góc ESI bằng góc BCI. Vì vậy, điểm S nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng các điểm H, O, I, C, S cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đáp số: Các điểm H, O, I, C, S cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a: Chứng minh rằng X, A', B' thẳng hàng 1. Xét tam giác XCD và đường tròn ngoại tiếp: - Gọi O là tâm ngoại tiếp của tam giác XCD. - Vì tam giác XCD có đường tròn ngoại tiếp, nên O là tâm của đường tròn ngoại tiếp này. 2. Xét các đường tròn ngoại tiếp tam giác PDA, PAB và PBC: - Các đường tròn ngoại tiếp tam giác PDA, PAB và PBC có bán kính bằng nhau. - Điều này cho thấy tam giác PDA, PAB và PBC có các đường tròn ngoại tiếp có cùng bán kính. 3. Xét giao điểm A' và B': - A' là giao điểm thứ hai của PA với đường tròn ngoại tiếp tam giác PDX. - B' là giao điểm thứ hai của PB với đường tròn ngoại tiếp tam giác PCX. 4. Chứng minh X, A', B' thẳng hàng: - Ta cần chứng minh rằng ba điểm X, A' và B' thẳng hàng. - Để làm điều này, ta xét góc $\angle PXA'$ và $\angle PXB'$: - Vì A' thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác PDX, nên $\angle PXA' = \angle PDA'$. - Vì B' thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác PCX, nên $\angle PXB' = \angle PCB'$. - Do đó, ta có $\angle PXA' + \angle PXB' = \angle PDA' + \angle PCB'$. - Vì tam giác PDA và tam giác PBC có cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp, nên $\angle PDA' = \angle PCB'$. - Từ đó, ta có $\angle PXA' + \angle PXB' = 180^\circ$, tức là X, A' và B' thẳng hàng. Phần b: Chứng minh $OP \perp AB$ 1. Xét tam giác XCD và đường tròn ngoại tiếp: - Gọi O là tâm ngoại tiếp của tam giác XCD. - Đường tròn ngoại tiếp tam giác XCD có tâm O. 2. Xét tam giác PAB và đường tròn ngoại tiếp: - Tam giác PAB có đường tròn ngoại tiếp với tâm là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa tâm ngoại tiếp của tam giác PDA và tâm ngoại tiếp của tam giác PBC. 3. Chứng minh $OP \perp AB$: - Vì tam giác PDA, PAB và PBC có các đường tròn ngoại tiếp có cùng bán kính, nên tâm ngoại tiếp của tam giác PAB nằm trên đường thẳng vuông góc với AB đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác XCD. - Do đó, ta có $OP \perp AB$. Kết luận: - Phần a: X, A', B' thẳng hàng. - Phần b: $OP \perp AB$.