Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 5. a) Ta có \(AH \perp BC\) và \(BD \parallel AH\), nên \(BD \perp BC\). Do đó, \(HBE\) là tam giác vuông tại \(B\). Mặt khác, \(AE \perp BD\) nên \(AHBE\) là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông). b) Ta có \(AHBE\) là hình chữ nhật, nên \(AH = BE\) và \(AH \parallel BE\). Lại có \(AH \perp BC\) và \(BD \perp BC\), nên \(AH \parallel BD\). Do đó, \(AH \parallel BE \parallel BD\). Từ đó, ta có \(AH = BE = BD\). Ta cũng có \(AB = AC\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)) và \(\angle BAH = \angle CAD\) (góc giữa hai đường thẳng song song). Do đó, tam giác \(ABD\) và tam giác \(ACH\) bằng nhau (cạnh kề hai góc vuông và cạnh huyền). Suy ra \(AD = CH\). Vậy \(A\) là trung điểm của \(DC\). c) Ta có \(I\) là trung điểm của \(AH\), nên \(AI = IH\). Lại có \(AHBE\) là hình chữ nhật, nên \(AH = BE\) và \(AH \parallel BE\). Do đó, \(AI = IH = \frac{1}{2}AH = \frac{1}{2}BE\). Ta cũng có \(AE \perp BD\) và \(AC \perp BD\) (vì \(AH \perp BC\) và \(BD \parallel AH\)), nên \(AE \parallel AC\). Do đó, tam giác \(AIE\) và tam giác \(AIC\) bằng nhau (cạnh kề hai góc vuông và cạnh huyền). Suy ra \(\angle AIE = \angle AIC\). Vậy ba điểm \(E\), \(I\), \(C\) thẳng hàng. Bài 6. a) Ta có M là trung điểm của BC nên $BM=MC=\frac{BC}{2}$. Mặt khác, ta cũng có $MN=MA$, do đó $AN=2AM=BC$. Tứ giác ABNC có $AB \perp AC$ và $AN=BC$, suy ra ABNC là hình chữ nhật. b) Ta có B là trung điểm của AK nên $BK=BA$. Mặt khác, ta cũng có $BN=AC$ (vì ABNC là hình chữ nhật). Do đó, BKNC là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. c) Ta có $KO=KN+NO$ và $OM=ON-NO$. Mặt khác, ta cũng có $KN=NC$ (vì BKNC là hình bình hành). Do đó, $KO=NC+NO$ và $OM=ON-NO$. Ta thấy rằng $NC=ON$ (vì BKNC là hình bình hành), suy ra $KO=2OM$. Bài 7. a) Ta có M là trung điểm của AC và EF nên tứ giác AECF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) b) Ta có FK // AH nên góc KFE = góc CAH (hai góc so le trong) Mà M là trung điểm của AC và EF nên AM = MC và FM = ME Ta có tam giác AMH và tam giác FMK có: - góc AMH = góc FMK (hai góc đối đỉnh) - góc MAH = góc KFE (chứng minh trên) - AM = FM (chứng minh trên) Nên tam giác AMH và tam giác FMK đồng dạng (g-g-c) Suy ra $\frac{AH}{FK} = \frac{AM}{FM} = \frac{MC}{ME} = \frac{AC}{EF}$ (tỷ số đồng dạng) Bài 8. a) Ta có $\frac{AM}{MB}=\frac{AD}{BD}$ (tia phân giác của góc ADB chia cạnh AB thành tỉ lệ bằng phân số cạnh kề) $\frac{AN}{NC}=\frac{AD}{CD}$ (tia phân giác của góc ADC chia cạnh AC thành tỉ lệ bằng phân số cạnh kề) Mà $BD=CD$ (Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền) Nên $\frac{AD}{BD}=\frac{AD}{CD}$ Suy ra $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ b) Ta có $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ (giao thoa của hai tia phân giác) Nên $\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC}$ Mà $\widehat{A}$ chung Nên tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC (cặp góc và tỉ lệ cạnh kề) Suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ABC},\widehat{ANM}=\widehat{ACB}$ Mà $\widehat{ABC}$ và $\widehat{AMN}$ so le trong nên MN // BC c) Ta có $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}$ (tỉ số cạnh tương ứng của tam giác đồng dạng) Mà $\frac{AN}{NC}=\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$ (Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền) Nên $\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$ Suy ra $\frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}$ Mà $MN=5 cm$ Nên $BC=15 cm$