Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 5. Trước tiên, ta nhận thấy rằng tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng 3. Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\) và song song với đường thẳng \(AB\). Ta cần tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2MA^2 + MB^2 + MC^2\) khi điểm \(M\) di động trên đường thẳng \(d\). Ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đều và các công thức liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến các đỉnh của tam giác đều. 1. Tính khoảng cách từ \(M\) đến các đỉnh \(A\), \(B\), và \(C\): - Vì \(d\) song song với \(AB\), ta có thể coi \(M\) nằm trên đường thẳng này. - Gọi \(h\) là chiều cao của tam giác đều \(ABC\). Chiều cao \(h\) của tam giác đều cạnh 3 là: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] - Khi \(M\) nằm trên đường thẳng \(d\), khoảng cách từ \(M\) đến \(C\) là \(h\). 2. Biểu thức \(2MA^2 + MB^2 + MC^2\): - Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đều và các khoảng cách từ \(M\) đến các đỉnh \(A\), \(B\), và \(C\). 3. Áp dụng tính chất của tam giác đều: - Trong tam giác đều, nếu ta lấy một điểm \(M\) trên đường thẳng song song với một cạnh và đi qua đỉnh đối diện, thì tổng bình phương khoảng cách từ \(M\) đến các đỉnh sẽ có giá trị nhỏ nhất khi \(M\) nằm chính giữa đoạn thẳng song song đó. 4. Tính giá trị nhỏ nhất: - Khi \(M\) nằm chính giữa đoạn thẳng song song với \(AB\) và đi qua \(C\), khoảng cách từ \(M\) đến \(A\) và \(B\) sẽ bằng nhau và khoảng cách từ \(M\) đến \(C\) là \(h\). - Gọi khoảng cách từ \(M\) đến \(A\) và \(B\) là \(x\). Ta có: \[ MA = MB = x \] \[ MC = h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] - Biểu thức \(2MA^2 + MB^2 + MC^2\) trở thành: \[ 2x^2 + x^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 3x^2 + \frac{27}{4} \] - Để giá trị nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa \(3x^2\). Khi \(M\) nằm chính giữa đoạn thẳng song song với \(AB\) và đi qua \(C\), \(x\) sẽ là khoảng cách từ \(C\) đến trung điểm của \(AB\), tức là: \[ x = \frac{3}{2} \] - Thay \(x = \frac{3}{2}\) vào biểu thức: \[ 3 \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{27}{4} = 3 \times \frac{9}{4} + \frac{27}{4} = \frac{27}{4} + \frac{27}{4} = \frac{54}{4} = 13.5 \] - Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có: \[ 13.5 \approx 14 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2MA^2 + MB^2 + MC^2\) là 14.