777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

Bài 14. a) Rút gọn biểu thức \( P \): Đầu tiên, ta viết lại biểu thức \( P \): \[ P = \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x^2 + x + 1} + \frac{2x + 1}{1 - x^3} \] Chú ý rằng \( 1 - x^3 = -(x^3 - 1) = -(x-1)(x^2 + x + 1) \). Do đó: \[ \frac{2x + 1}{1 - x^3} = \frac{2x + 1}{-(x-1)(x^2 + x + 1)} = -\frac{2x + 1}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \] Bây giờ, ta có: \[ P = \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x^2 + x + 1} - \frac{2x + 1}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \] Tìm mẫu chung của ba phân số: \[ P = \frac{(x^2 + x + 1) + x(x-1) - (2x + 1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \] Rút gọn tử số: \[ (x^2 + x + 1) + x(x-1) - (2x + 1) = x^2 + x + 1 + x^2 - x - 2x - 1 = 2x^2 - 2x \] Do đó: \[ P = \frac{2x^2 - 2x}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = \frac{2x(x-1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = \frac{2x}{x^2 + x + 1} \] b) Tính giá trị của biểu thức \( P \) tại \( x = 2 \): Thay \( x = 2 \) vào biểu thức rút gọn của \( P \): \[ P = \frac{2 \cdot 2}{2^2 + 2 + 1} = \frac{4}{4 + 2 + 1} = \frac{4}{7} \] c) Chứng minh \( P > 0 \) với \( x > 0, x \neq 1 \): Biểu thức rút gọn của \( P \) là: \[ P = \frac{2x}{x^2 + x + 1} \] Ta thấy rằng: - Tử số \( 2x \) luôn dương khi \( x > 0 \). - Mẫu số \( x^2 + x + 1 \) luôn dương vì \( x^2 \geq 0 \), \( x > 0 \) và \( 1 > 0 \). Do đó, phân số \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \) luôn dương khi \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \). Kết luận: \[ P > 0 \text{ với } x > 0, x \neq 1 \] Bài 15. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Rút gọn biểu thức \( P \) Biểu thức \( P \) được cho là: \[ P = \left( \frac{x-1}{x+3} + \frac{2}{x-3} + \frac{x^2+3}{9-x^2} \right) \left( \frac{2x-1}{2x-1} - 1 \right) \] Bước 1: Rút gọn từng phần của biểu thức Phần đầu tiên: \[ \frac{x-1}{x+3} + \frac{2}{x-3} + \frac{x^2+3}{9-x^2} \] Chúng ta nhận thấy rằng \( 9 - x^2 = (3 - x)(3 + x) \). Do đó: \[ \frac{x^2+3}{9-x^2} = \frac{x^2+3}{(3-x)(3+x)} \] Phần thứ hai: \[ \frac{2x-1}{2x-1} - 1 = 1 - 1 = 0 \] Do đó, biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = \left( \frac{x-1}{x+3} + \frac{2}{x-3} + \frac{x^2+3}{(3-x)(3+x)} \right) \cdot 0 = 0 \] b) Tính giá trị của \( P \) biết \( |x+1| = \frac{1}{2} \) Từ \( |x+1| = \frac{1}{2} \), ta có hai trường hợp: 1. \( x + 1 = \frac{1}{2} \) \[ x = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \] 2. \( x + 1 = -\frac{1}{2} \) \[ x = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} \] Vì \( P = 0 \) cho mọi \( x \) thỏa mãn điều kiện, nên giá trị của \( P \) là: \[ P = 0 \] c) Tìm \( x \) để \( P = \frac{x}{2} \) Vì \( P = 0 \) cho mọi \( x \) thỏa mãn điều kiện, nên: \[ 0 = \frac{x}{2} \] \[ x = 0 \] Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại điều kiện \( x \neq 3, -3, -\frac{1}{2} \). Vì \( x = 0 \) thỏa mãn điều kiện này, nên: \[ x = 0 \] Đáp số: a) \( P = 0 \) b) \( P = 0 \) c) \( x = 0 \)