trong không gian Oxyz cho các điểm A(8;9;2),B(3;5;1) và C(11;10;4)
d) Tìm M thuộc (oyz) sao cho T=/$\vec{MA}+$$\vec{MB}$$+\vec{2}MC$/ đạt giá trị nhỏ nhất
giải chi tiết câu này giúp mình

Question

Accepted Answer

Để tìm điểm $ M $ thuộc mặt phẳng $ (Oyz) $ sao cho $ T = |\vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC}| $ đạt giá trị nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ của điểm $ M $:
   Vì $ M $ thuộc mặt phẳng $ (Oyz) $, nên tọa độ của $ M $ có dạng $ M(0, y, z) $.

2. Tính các vectơ $ \vec{MA} $, $ \vec{MB} $, và $ \vec{MC} $:
   - $ \vec{MA} = (8 - 0, 9 - y, 2 - z) = (8, 9 - y, 2 - z) $
   - $ \vec{MB} = (3 - 0, 5 - y, 1 - z) = (3, 5 - y, 1 - z) $
   - $ \vec{MC} = (11 - 0, 10 - y, 4 - z) = (11, 10 - y, 4 - z) $

3. Tính tổng các vectơ $ \vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC} $:
   $$
   \vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC} = (8, 9 - y, 2 - z) + (3, 5 - y, 1 - z) + 2(11, 10 - y, 4 - z)
   $$
   $$
   = (8 + 3 + 22, 9 - y + 5 - y + 20 - 2y, 2 - z + 1 - z + 8 - 2z)
   $$
   $$
   = (33, 34 - 4y, 11 - 4z)
   $$

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ T = |\vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC}| $:
   Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ |(33, 34 - 4y, 11 - 4z)| $. Điều này tương đương với việc tìm giá trị nhỏ nhất của:
   $$
   T = \sqrt{33^2 + (34 - 4y)^2 + (11 - 4z)^2}
   $$

Để $ T $ đạt giá trị nhỏ nhất, các thành phần trong căn bậc hai phải nhỏ nhất. Do đó, ta cần:
   $$
   34 - 4y = 0 \quad \text{và} \quad 11 - 4z = 0
   $$
   Giải các phương trình này:
   $$
   34 - 4y = 0 \implies y = \frac{34}{4} = 8.5
   $$
   $$
   11 - 4z = 0 \implies z = \frac{11}{4} = 2.75
   $$

5. Kết luận:
   Điểm $ M $ thuộc mặt phẳng $ (Oyz) $ sao cho $ T $ đạt giá trị nhỏ nhất là $ M(0, 8.5, 2.75) $.

Đáp số: $ M(0, 8.5, 2.75) $

trong không gian Oxyz cho các điểm A(8;9;2),B(3;5;1) và C(11;10;4) d) Tìm M thuộc (oyz) sao cho T=// đạt giá trị nhỏ nhất giải chi tiết câu này giúp mình