Tìm các số nguyên tố p,q,r thỏa mãn: p2 + 1 q2 + 3 = r2 + 21.

Để tìm các số nguyên tố \( p, q, r \) thỏa mãn phương trình \( p^2 + 1 + q^2 + 3 = r^2 + 21 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình: \[ p^2 + 1 + q^2 + 3 = r^2 + 21 \] \[ p^2 + q^2 + 4 = r^2 + 21 \] Bước 2: Chuyển vế để dễ dàng phân tích: \[ p^2 + q^2 + 4 - 21 = r^2 \] \[ p^2 + q^2 - 17 = r^2 \] Bước 3: Ta thấy rằng \( p^2 + q^2 - 17 \) phải là một số chính phương. Do đó, ta sẽ thử các giá trị của \( p \) và \( q \) là các số nguyên tố để kiểm tra xem \( p^2 + q^2 - 17 \) có là số chính phương hay không. - Thử \( p = 2 \): \[ 2^2 + q^2 - 17 = r^2 \] \[ 4 + q^2 - 17 = r^2 \] \[ q^2 - 13 = r^2 \] \[ q^2 - r^2 = 13 \] \[ (q - r)(q + r) = 13 \] Các cặp số nguyên tố thoả mãn \( (q - r)(q + r) = 13 \) là \( (1, 13) \) và \( (-1, -13) \). Ta thử các trường hợp: - \( q - r = 1 \) và \( q + r = 13 \): \[ q = 7 \text{ và } r = 6 \] (không thoả mãn vì \( r \) không là số nguyên tố) - \( q - r = -1 \) và \( q + r = -13 \): \[ q = -7 \text{ và } r = -6 \] (không thoả mãn vì \( q \) và \( r \) không là số nguyên tố) - Thử \( p = 3 \): \[ 3^2 + q^2 - 17 = r^2 \] \[ 9 + q^2 - 17 = r^2 \] \[ q^2 - 8 = r^2 \] \[ q^2 - r^2 = 8 \] \[ (q - r)(q + r) = 8 \] Các cặp số nguyên tố thoả mãn \( (q - r)(q + r) = 8 \) là \( (1, 8) \) và \( (-1, -8) \). Ta thử các trường hợp: - \( q - r = 1 \) và \( q + r = 8 \): \[ q = 4.5 \text{ và } r = 3.5 \] (không thoả mãn vì \( q \) và \( r \) không là số nguyên tố) - \( q - r = -1 \) và \( q + r = -8 \): \[ q = -4.5 \text{ và } r = -3.5 \] (không thoả mãn vì \( q \) và \( r \) không là số nguyên tố) - Thử \( p = 5 \): \[ 5^2 + q^2 - 17 = r^2 \] \[ 25 + q^2 - 17 = r^2 \] \[ q^2 + 8 = r^2 \] \[ r^2 - q^2 = 8 \] \[ (r - q)(r + q) = 8 \] Các cặp số nguyên tố thoả mãn \( (r - q)(r + q) = 8 \) là \( (1, 8) \) và \( (-1, -8) \). Ta thử các trường hợp: - \( r - q = 1 \) và \( r + q = 8 \): \[ r = 4.5 \text{ và } q = 3.5 \] (không thoả mãn vì \( r \) và \( q \) không là số nguyên tố) - \( r - q = -1 \) và \( r + q = -8 \): \[ r = -4.5 \text{ và } q = -3.5 \] (không thoả mãn vì \( r \) và \( q \) không là số nguyên tố) - Thử \( p = 7 \): \[ 7^2 + q^2 - 17 = r^2 \] \[ 49 + q^2 - 17 = r^2 \] \[ q^2 + 32 = r^2 \] \[ r^2 - q^2 = 32 \] \[ (r - q)(r + q) = 32 \] Các cặp số nguyên tố thoả mãn \( (r - q)(r + q) = 32 \) là \( (1, 32) \) và \( (-1, -32) \). Ta thử các trường hợp: - \( r - q = 1 \) và \( r + q = 32 \): \[ r = 16.5 \text{ và } q = 15.5 \] (không thoả mãn vì \( r \) và \( q \) không là số nguyên tố) - \( r - q = -1 \) và \( r + q = -32 \): \[ r = -16.5 \text{ và } q = -15.5 \] (không thoả mãn vì \( r \) và \( q \) không là số nguyên tố) Qua các trường hợp trên, ta thấy không có cặp số nguyên tố \( p, q, r \) nào thoả mãn phương trình \( p^2 + 1 + q^2 + 3 = r^2 + 21 \). Vậy không có các số nguyên tố \( p, q, r \) thoả mãn phương trình đã cho.