rút gọn biểu thưucs

Điều kiện xác định: \( x > 0, y > 0, x \neq y \). Bước 1: Rút gọn biểu thức \( A \). Ta có: \[ A = \left( \frac{\sqrt{y}}{x + \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} \right) : \frac{2\sqrt{y}}{x - y} \] Bước 2: Quy đồng mẫu số của các phân thức trong ngoặc. Mẫu số chung của \( x + \sqrt{xy} \) và \( x - \sqrt{xy} \) là \( (x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy}) \). Do đó: \[ \frac{\sqrt{y}}{x + \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{y}(x - \sqrt{xy}) + \sqrt{y}(x + \sqrt{xy})}{(x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy})} \] Bước 3: Thực hiện phép nhân và cộng ở tử số. \[ = \frac{\sqrt{y}x - \sqrt{y}\sqrt{xy} + \sqrt{y}x + \sqrt{y}\sqrt{xy}}{(x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy})} \] \[ = \frac{\sqrt{y}x + \sqrt{y}x}{(x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy})} \] \[ = \frac{2\sqrt{y}x}{(x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy})} \] Bước 4: Nhân với phần ngược lại của phân thức còn lại. \[ A = \frac{2\sqrt{y}x}{(x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy})} \times \frac{x - y}{2\sqrt{y}} \] Bước 5: Rút gọn biểu thức. \[ = \frac{2\sqrt{y}x(x - y)}{(x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy}) \cdot 2\sqrt{y}} \] \[ = \frac{x(x - y)}{(x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy})} \] Bước 6: Nhận thấy rằng \( (x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy}) = x^2 - xy \). \[ = \frac{x(x - y)}{x^2 - xy} \] \[ = \frac{x(x - y)}{x(x - y)} \] \[ = 1 \] Vậy, biểu thức \( A \) rút gọn thành 1. Đáp số: \( A = 1 \).