Giải hộ mình câu này với các bạn

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} + \frac{1}{xy+1} \) với điều kiện \( xy \geq 1 \), ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức. Đầu tiên, ta xét biểu thức \( P \): \[ P = \frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} + \frac{1}{xy+1}. \] Ta sẽ biến đổi từng phần của biểu thức này để tìm giá trị nhỏ nhất. 1. Ta có: \[ \frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} \geq \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+1)(x+1)}}. \] 2. Ta cũng có: \[ \frac{1}{xy+1} \geq \frac{1}{xy+1}. \] 3. Kết hợp lại, ta có: \[ P \geq \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+1)(x+1)}} + \frac{1}{xy+1}. \] 4. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần kiểm tra khi nào biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất. Ta thử với \( x = y = 1 \): \[ P = \frac{1}{1+1} + \frac{1}{1+1} + \frac{1}{1 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( \frac{3}{2} \), đạt được khi \( x = y = 1 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( \frac{3}{2} \). Đáp số: \( \frac{3}{2} \).