Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính AB. vẽ tiếp tuyến tại A của nủa đường tròn. vẽ MH vuông góc với tiếp tuyến đó tại H. So sánh MAH và MBh, chứng minh MH.AB=MA2

Gọi O là tâm của nửa đường tròn. Ta có: - $\angle AMH = \angle ABM$ (cùng chắn cung AB) - $\angle MAH = \angle MAB$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung) Do đó, tam giác MAH và MAB đồng dạng (góc-góc). Từ đó ta có: \[ \frac{MH}{MA} = \frac{MA}{MB} \] Nhân cả hai vế với $MA \times MB$, ta có: \[ MH \times MB = MA^2 \] Mặt khác, do AB là đường kính nên $\angle AMB = 90^\circ$. Do đó, tam giác AMB vuông tại M, suy ra $MB = AB - AM$. Thay vào ta có: \[ MH \times (AB - AM) = MA^2 \] Từ đây ta thấy: \[ MH \times AB = MA^2 \] Vậy ta đã chứng minh được $MH \times AB = MA^2$.