jgxgjxgxjfxjxffjx

Câu 1: Để phương trình $(a-1)x + 3 = 0$ có nghiệm duy nhất, ta cần đảm bảo rằng hệ số của $x$ không bằng 0. Hệ số của $x$ là $a - 1$. Để phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần: \[ a - 1 \neq 0 \] \[ a \neq 1 \] Do đó, phương trình $(a-1)x + 3 = 0$ có nghiệm duy nhất khi $a \neq 1$. Đáp án đúng là: D. $a \neq 1$. Câu 2: Để giải bất phương trình $4x + 1 > 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển số hạng 1 sang phía bên phải của bất phương trình: \[ 4x > -1 \] Bước 2: Chia cả hai vế của bất phương trình cho 4 để tìm giá trị của x: \[ x > \frac{-1}{4} \] Vậy nghiệm của bất phương trình $4x + 1 > 0$ là: \[ x > \frac{-1}{4} \] Do đó, đáp án đúng là: C. $x > \frac{-1}{4}$ Câu 3: Để tìm điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{2x-4}$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải lớn hơn hoặc bằng 0. Bước 1: Xác định điều kiện của biểu thức dưới dấu căn: \[ 2x - 4 \geq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ 2x \geq 4 \] \[ x \geq 2 \] Vậy điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{2x-4}$ là: \[ x \geq 2 \] Do đó, đáp án đúng là: C. $x \geq 2$ Câu 4: Để tìm giá trị của \( x \) sao cho \( 3\sqrt{x} = 12 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả hai vế của phương trình cho 3: \[ \sqrt{x} = \frac{12}{3} \] \[ \sqrt{x} = 4 \] Bước 2: Bình phương cả hai vế để tìm giá trị của \( x \): \[ (\sqrt{x})^2 = 4^2 \] \[ x = 16 \] Vậy giá trị của \( x \) là 16. Đáp án đúng là: D. 16. Câu 5: Để tìm giá trị của hệ số \(a\) trong phương trình \(y = ax + b\), ta sẽ sử dụng thông tin rằng đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A(2;3)\) và \(B(-1;0)\). 1. Thay tọa độ của điểm \(A(2;3)\) vào phương trình \(y = ax + b\): \[ 3 = 2a + b \quad \text{(1)} \] 2. Thay tọa độ của điểm \(B(-1;0)\) vào phương trình \(y = ax + b\): \[ 0 = -a + b \quad \text{(2)} \] 3. Giải hệ phương trình (1) và (2): Từ phương trình (2), ta có: \[ b = a \] Thay \(b = a\) vào phương trình (1): \[ 3 = 2a + a \] \[ 3 = 3a \] \[ a = 1 \] Vậy giá trị của hệ số \(a\) là 1. Đáp án đúng là: A. 1 Câu 6: Trước tiên, chúng ta cần biết định nghĩa của giá trị lượng giác sin trong tam giác vuông. Trong tam giác vuông, sin của một góc là tỉ số giữa độ dài cạnh đối diện với góc đó và độ dài cạnh huyền. Trong tam giác ABC vuông tại A: - Cạnh huyền là BC. - Cạnh đối với góc ABC là AC. Do đó, giá trị lượng giác sin của góc ABC sẽ là: \[ \sin ABC = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\sin ABC = \frac{AC}{BC}$ Câu 7: Để tính diện tích của hình tròn, ta sử dụng công thức: \[ S = \pi r^2 \] Trong đó: - \( S \) là diện tích của hình tròn, - \( r \) là bán kính của hình tròn. Bước 1: Xác định bán kính của hình tròn. - Đường kính của hình tròn là 24 cm, do đó bán kính \( r \) sẽ là: \[ r = \frac{24}{2} = 12 \text{ cm} \] Bước 2: Thay bán kính vào công thức diện tích. \[ S = \pi \times 12^2 = \pi \times 144 = 144\pi \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích của hình tròn là \( 144\pi \text{ cm}^2 \). Đáp án đúng là: A. \( 144\pi \text{ cm}^2 \) Câu 8: Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn \((O; 3 \text{ cm})\) và \((O'; 1,5 \text{ cm})\) với khoảng cách giữa tâm hai đường tròn là \(OO' = 5 \text{ cm}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính bán kính của hai đường tròn: - Bán kính của đường tròn \((O)\) là \(R = 3 \text{ cm}\). - Bán kính của đường tròn \((O')\) là \(r = 1,5 \text{ cm}\). 2. Tính tổng và hiệu của hai bán kính: - Tổng của hai bán kính: \(R + r = 3 + 1,5 = 4,5 \text{ cm}\). - Hiệu của hai bán kính: \(R - r = 3 - 1,5 = 1,5 \text{ cm}\). 3. So sánh khoảng cách giữa tâm hai đường tròn với tổng và hiệu của hai bán kính: - Khoảng cách giữa tâm hai đường tròn là \(OO' = 5 \text{ cm}\). - Ta thấy \(R + r = 4,5 \text{ cm}\) và \(R - r = 1,5 \text{ cm}\). 4. Xác định vị trí tương đối: - Vì \(OO' = 5 \text{ cm} > R + r = 4,5 \text{ cm}\), nên hai đường tròn nằm ngoài nhau. Do đó, vị trí tương đối của hai đường tròn là: B. Ngoài nhau. Câu 1: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 9 \). 1.1: Rút gọn biểu thức \( P \). Ta có: \[ P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} + \frac{3x+3}{9-x} \right) \left( \frac{\sqrt{x}-7}{\sqrt{x}+1} + 1 \right) \] Trước tiên, ta rút gọn từng phần của biểu thức \( P \): Phần 1: \[ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} + \frac{3x+3}{9-x} \] Tìm mẫu chung của các phân thức: \[ \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3) + \sqrt{x}(\sqrt{x}+3) + (3x+3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} \] \[ = \frac{2x - 6\sqrt{x} + x + 3\sqrt{x} + 3x + 3}{x - 9} \] \[ = \frac{6x - 3\sqrt{x} + 3}{x - 9} \] \[ = \frac{3(2x - \sqrt{x} + 1)}{x - 9} \] Phần 2: \[ \frac{\sqrt{x}-7}{\sqrt{x}+1} + 1 \] \[ = \frac{\sqrt{x}-7 + (\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1} \] \[ = \frac{2\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x}+1} \] \[ = \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x}+1} \] Kết hợp lại: \[ P = \left( \frac{3(2x - \sqrt{x} + 1)}{x - 9} \right) \left( \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x}+1} \right) \] \[ = \frac{6(2x - \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 1)} \] 1.2: Tìm các giá trị của \( x \) để \( P < 0 \). Để \( P < 0 \), ta xét các trường hợp: - \( \frac{3(2x - \sqrt{x} + 1)}{x - 9} \) và \( \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} + 1} \) phải có các dấu trái dấu nhau. Xét dấu của \( \frac{3(2x - \sqrt{x} + 1)}{x - 9} \): - \( 2x - \sqrt{x} + 1 > 0 \) luôn đúng vì \( 2x + 1 > \sqrt{x} \) (dễ dàng kiểm tra bằng cách vẽ đồ thị hoặc thử các giá trị). - \( x - 9 \) âm khi \( x < 9 \) và dương khi \( x > 9 \). Xét dấu của \( \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} + 1} \): - \( \sqrt{x} - 3 \) âm khi \( x < 9 \) và dương khi \( x > 9 \). - \( \sqrt{x} + 1 \) luôn dương. Do đó, \( P < 0 \) khi: - \( x - 9 < 0 \) và \( \sqrt{x} - 3 > 0 \) - \( x < 9 \) và \( x > 9 \) (không thỏa mãn) Vậy không có giá trị nào của \( x \) thỏa mãn \( P < 0 \). Đáp số: Không có giá trị nào của \( x \) để \( P < 0 \). Câu 2: Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}l3x-y=4\\x+2y=-15\end{array}\right.$, ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số. Bước 1: Nhân phương trình thứ nhất với 2 để dễ dàng cộng trừ với phương trình thứ hai: \[ \left\{\begin{array}{l} 6x - 2y = 8 \\ x + 2y = -15 \end{array}\right. \] Bước 2: Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ biến \( y \): \[ (6x - 2y) + (x + 2y) = 8 + (-15) \] \[ 6x + x = 8 - 15 \] \[ 7x = -7 \] \[ x = -1 \] Bước 3: Thay giá trị \( x = -1 \) vào phương trình thứ hai để tìm giá trị của \( y \): \[ -1 + 2y = -15 \] \[ 2y = -15 + 1 \] \[ 2y = -14 \] \[ y = -7 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = -1 \) và \( y = -7 \). Đáp số: \( x = -1 \), \( y = -7 \). Câu 3: 3.1: Giải bất phương trình \(5x - (2x - 3) < 4(x - 2)\) Bước 1: Mở ngoặc và thu gọn các hạng tử: \[5x - 2x + 3 < 4x - 8\] \[3x + 3 < 4x - 8\] Bước 2: Chuyển các hạng tử liên quan đến \(x\) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[3x - 4x < -8 - 3\] \[-x < -11\] Bước 3: Nhân cả hai vế với \(-1\) (nhớ đổi dấu bất phương trình): \[x > 11\] Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là \(x > 11\). 3.2: Cho hai số \(a\) và \(b\) sao cho \(a \geq b\). Chứng minh \(1 - 4a \leq 1 - 4b\). Bước 1: Ta biết rằng \(a \geq b\). Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với \(-4\) (nhớ đổi dấu bất đẳng thức): \[-4a \leq -4b\] Bước 2: Cộng thêm 1 vào cả hai vế của bất đẳng thức trên: \[1 - 4a \leq 1 - 4b\] Vậy ta đã chứng minh được \(1 - 4a \leq 1 - 4b\). Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. 1. Xác định các đại lượng đã biết và cần tìm: - Chiều cao của tòa nhà AB = 75m. - Khoảng cách từ chân tòa nhà đến chân núi BC = 124m. - Góc nhìn ACB = $56^\circ$. - Cần tìm chiều cao của ngọn núi CD. 2. Xác định tam giác vuông: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại B. 3. Áp dụng tỉ số lượng giác: - Trong tam giác ABC, ta có: \[ \tan(56^\circ) = \frac{\text{AC}}{\text{BC}} \] - Thay các giá trị vào: \[ \tan(56^\circ) = \frac{\text{AC}}{124} \] 4. Tìm AC: - Ta biết $\tan(56^\circ) \approx 1.4826$. - Do đó: \[ 1.4826 = \frac{\text{AC}}{124} \] - Giải phương trình để tìm AC: \[ \text{AC} = 1.4826 \times 124 \approx 183.87 \text{m} \] 5. Tìm chiều cao của ngọn núi CD: - Chiều cao của ngọn núi CD = AC - AB - Thay các giá trị vào: \[ \text{CD} = 183.87 - 75 \approx 108.87 \text{m} \] Đáp số: Ngọn núi cao khoảng 108.87m so với mặt đất. Câu 5: 5.1: Chứng minh các điểm O, I, A, M, B cùng thuộc một đường tròn. - Xét tam giác \( OMA \) và \( OMB \): - \( OA = OB \) (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn (O)). - \( MA = MB \) (vì cả hai đều là tiếp tuyến từ điểm M đến đường tròn (O)). - \( OM \) chung. Do đó, tam giác \( OMA \) và \( OMB \) bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c). Từ đó ta có: \[ \angle OMA = \angle OMB \] - Vì \( \angle OMA = \angle OMB \), nên \( OM \) là tia phân giác của góc \( AMB \). - Xét tam giác \( OIA \) và \( OIB \): - \( OA = OB \) (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn (O)). - \( IA = IB \) (vì I là trung điểm của dây PQ). - \( OI \) chung. Do đó, tam giác \( OIA \) và \( OIB \) bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c). Từ đó ta có: \[ \angle OIA = \angle OIB \] - Vì \( \angle OIA = \angle OIB \), nên \( OI \) là tia phân giác của góc \( AIB \). - Kết hợp lại, ta thấy \( OM \) và \( OI \) là các tia phân giác của các góc \( AMB \) và \( AIB \) tương ứng. Do đó, các điểm O, I, A, M, B cùng thuộc một đường tròn. 5.2: Chứng minh \( \widehat{BOM} = \widehat{BEA} \). - Ta đã biết \( O, I, A, M, B \) cùng thuộc một đường tròn. Do đó, \( \angle BOM \) và \( \angle BAM \) là các góc nội tiếp cùng chắn cung \( BM \). - Mặt khác, \( \angle BEA \) cũng là góc nội tiếp chắn cung \( BA \). - Vì \( \angle BAM \) và \( \angle BEA \) đều chắn cung \( BA \), nên: \[ \angle BOM = \angle BEA \] Vậy ta đã chứng minh được \( \widehat{BOM} = \widehat{BEA} \).