Cách giải đề này chi tiết

Câu 1. Để viết tập hợp \( B = \{x \in \mathbb{R} | (x^2 - 2x)(x^2 - 4) = 0\} \) bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp, chúng ta sẽ giải phương trình \((x^2 - 2x)(x^2 - 4) = 0\). 1. Phân tích phương trình thành các nhân tử: \[ (x^2 - 2x)(x^2 - 4) = 0 \] 2. Giải phương trình \(x^2 - 2x = 0\): \[ x(x - 2) = 0 \] Điều này cho ta hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Giải phương trình \(x^2 - 4 = 0\): \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \] Điều này cho ta hai nghiệm: \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 4. Tổng hợp các nghiệm: Các nghiệm của phương trình \((x^2 - 2x)(x^2 - 4) = 0\) là: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 \] 5. Liệt kê các phần tử của tập hợp \(B\): \[ B = \{-2, 0, 2\} \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( B = \{-2, 0, 2\} \). Câu 2. Để xác định bất phương trình nào không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng ta cần kiểm tra từng phương án: A. \(2x - y + 9 < 0\) - Đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả \(x\) và \(y\) đều có bậc 1. B. \(3(x + 1) \leq 2y\) - Ta mở ngoặc: \(3x + 3 \leq 2y\) - Đây cũng là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả \(x\) và \(y\) đều có bậc 1. C. \(x^2 + 3y \leq (x - 1)^2\) - Ta mở ngoặc và giản ước: \(x^2 + 3y \leq x^2 - 2x + 1\) - Biến đổi: \(3y \leq -2x + 1\) - Đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả \(x\) và \(y\) đều có bậc 1. D. \(2(3x + y) \leq 3(2x + 2) + 2y\) - Ta mở ngoặc: \(6x + 2y \leq 6x + 6 + 2y\) - Biến đổi: \(6x + 2y \leq 6x + 6 + 2y\) - Giản ước: \(0 \leq 6\) - Điều này là đúng với mọi giá trị của \(x\) và \(y\), nhưng không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó không phụ thuộc vào \(x\) và \(y\). Do đó, bất phương trình không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: Đáp án: D. \(2(3x + y) \leq 3(2x + 2) + 2y\). Câu 3. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = x^4 - 2018x^2 - 2019 \), chúng ta cần kiểm tra xem có bất kỳ hạn chế nào về biến \( x \) không. Hàm số \( y = x^4 - 2018x^2 - 2019 \) là một đa thức bậc 4. Đa thức bậc 4 là một hàm số liên tục và xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Do đó, tập xác định của hàm số này là tất cả các số thực, tức là \( (-\infty; +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: D. \( (-\infty; +\infty) \). Câu 4. Để kiểm tra các khẳng định, chúng ta sẽ tính giá trị của hàm số $y = f(x) = |-5x|$ tại các điểm tương ứng. A. $f(-1) = |-5 \times (-1)| = |5| = 5$. Khẳng định này đúng. B. $f(-2) = |-5 \times (-2)| = |10| = 10$. Khẳng định này đúng. C. $f\left(\frac{810}{858}\right) - 1 = |-5 \times \frac{810}{858}| - 1 = \left|\frac{-4050}{858}\right| - 1 = \frac{4050}{858} - 1 = \frac{4050}{858} - \frac{858}{858} = \frac{3192}{858} = \frac{532}{143}$. Khẳng định này sai vì $\frac{532}{143}$ không phải là một số nguyên. D. $f(2) = |-5 \times 2| = | -10 | = 10$. Khẳng định này đúng. Vậy khẳng định sai là: C. $f\left(\frac{810}{858}\right) - 1$ Đáp án: C. Câu 5. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = ax^2 + bx + c$, với $a > 0$, ta cần tìm điểm đỉnh của parabol và xác định hướng mở rộng của nó. 1. Tìm tọa độ đỉnh của parabol: - Tọa độ đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$ là $\left(-\frac{b}{2a}, y\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$. 2. Xác định hướng mở rộng của parabol: - Vì $a > 0$, parabol mở rộng lên trên. 3. Xác định khoảng đồng biến: - Parabol mở rộng lên trên, do đó hàm số sẽ đồng biến từ đỉnh trở đi về phía bên phải. Điểm đỉnh nằm ở $x = -\frac{b}{2a}$, vì vậy hàm số đồng biến trong khoảng $(-\frac{b}{2a}; +\infty)$. Do đó, đáp án đúng là: B. $(-\frac{b}{2a}; +\infty)$. Câu 6. Để tìm đỉnh của parabol \( y = 3x^2 - 2x + 1 \), ta sử dụng công thức tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \): Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là: \[ \left( -\frac{b}{2a}, f\left( -\frac{b}{2a} \right) \right) \] Trong đó: - \( a = 3 \) - \( b = -2 \) - \( c = 1 \) Bước 1: Tính hoành độ đỉnh: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Bước 2: Thay \( x = \frac{1}{3} \) vào phương trình \( y = 3x^2 - 2x + 1 \) để tính tung độ đỉnh: \[ y = 3 \left( \frac{1}{3} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{3} \right) + 1 \] \[ y = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1 \] \[ y = \frac{3}{9} - \frac{2}{3} + 1 \] \[ y = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 \] \[ y = -\frac{1}{3} + 1 \] \[ y = \frac{2}{3} \] Vậy tọa độ đỉnh của parabol \( y = 3x^2 - 2x + 1 \) là \( \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \). Do đó, đáp án đúng là: B. \( I \left( \frac{1}{3}; \frac{2}{3} \right) \) Câu 7. Ta có: \[ b^2 + c^2 - a^2 = \sqrt{3} bc \] Áp dụng định lý余弦定理，我们有： \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] 将给定的条件代入： \[ \cos A = \frac{\sqrt{3} bc}{2bc} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 我们知道： \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 因此： \[ A = 30^\circ \] 所以正确答案是： A. \( A = 30^\circ \) 最终答案是：A. \( A = 30^\circ \) Câu 8. Trước tiên, ta cần kiểm tra lại tổng các góc của tam giác ABC: \[ A + B + C = 180^\circ \] Biết rằng \( H = 110^\circ \) và \( c = 46^\circ \), ta có: \[ A = 110^\circ \] \[ C = 46^\circ \] Tính góc \( B \): \[ B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 110^\circ - 46^\circ = 24^\circ \] Bây giờ, ta sẽ sử dụng Định lý Sin để tính các cạnh còn lại của tam giác ABC. Theo Định lý Sin: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Ta biết \( b = 6 \) và \( B = 24^\circ \). Ta sẽ tính \( a \) và \( c \). Tính \( a \): \[ \frac{a}{\sin 110^\circ} = \frac{6}{\sin 24^\circ} \] \[ a = 6 \cdot \frac{\sin 110^\circ}{\sin 24^\circ} \] Tính \( c \): \[ \frac{c}{\sin 46^\circ} = \frac{6}{\sin 24^\circ} \] \[ c = 6 \cdot \frac{\sin 46^\circ}{\sin 24^\circ} \] Sử dụng máy tính để tính các giá trị sin: \[ \sin 110^\circ \approx 0,9397 \] \[ \sin 24^\circ \approx 0,4067 \] \[ \sin 46^\circ \approx 0,7193 \] Bây giờ, ta tính \( a \) và \( c \): \[ a = 6 \cdot \frac{0,9397}{0,4067} \approx 6 \cdot 2,310 \approx 13,86 \] \[ c = 6 \cdot \frac{0,7193}{0,4067} \approx 6 \cdot 1,768 \approx 10,61 \] Do đó, các giá trị gần đúng là: \[ a \approx 13,86 \] \[ c \approx 10,61 \] So sánh với các lựa chọn đã cho: A. \( B = 24^\circ; a = 13,9; c = 10,6 \) B. \( B = 24^\circ; a = 13,8; c = 10,7 \) C. \( B = 24^\circ; a = 12,7; c = 10,1 \) D. \( B = 24^\circ; a = 12,6; c = 10,2 \) Nhìn vào các giá trị gần đúng, ta thấy rằng lựa chọn B là gần đúng nhất: \[ B = 24^\circ; a = 13,8; c = 10,7 \] Vậy đáp án đúng là: B. \( B = 24^\circ; a = 13,8; c = 10,7 \) Câu 9. Để xác định hai vectơ có cùng độ dài và cùng hướng gọi là gì, chúng ta sẽ xem xét từng lựa chọn: A. Hai vectơ cùng hướng: Điều này chỉ nói rằng hai vectơ có cùng hướng nhưng không nói về độ dài của chúng. Do đó, nó không đúng hoàn toàn. B. Hai vectơ cùng phương: Điều này chỉ nói rằng hai vectơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song với nhau, nhưng không nói về độ dài và hướng của chúng. Do đó, nó cũng không đúng hoàn toàn. C. Hai vectơ đối nhau: Điều này chỉ nói rằng hai vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng. Do đó, nó không đúng vì hai vectơ trong câu hỏi có cùng hướng. D. Hai vectơ bằng nhau: Điều này chỉ nói rằng hai vectơ có cùng độ dài và cùng hướng. Đây là định nghĩa chính xác cho hai vectơ có cùng độ dài và cùng hướng. Vậy, đáp án đúng là: D. Hai vectơ bằng nhau. Câu 10. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. Giả sử M nằm trong tam giác ABC và thỏa mãn điều kiện \( MA + MC = MB \). A. \( AB + AM = AC \) - Ta thấy rằng nếu \( MA + MC = MB \), thì điểm M nằm trên đường thẳng nối giữa A và C sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và M đến C bằng khoảng cách từ M đến B. Điều này không đảm bảo rằng \( AB + AM = AC \). Do đó, khẳng định này có thể sai. B. \( BA + BC = BM \) - Nếu \( MA + MC = MB \), thì điểm M nằm trên đường thẳng nối giữa A và C sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và M đến C bằng khoảng cách từ M đến B. Điều này không đảm bảo rằng \( BA + BC = BM \). Do đó, khẳng định này có thể sai. C. Tứ giác ABCM là hình bình hành. - Để tứ giác ABCM là hình bình hành, các cặp cạnh đối diện phải bằng nhau và song song. Điều kiện \( MA + MC = MB \) không đảm bảo rằng các cạnh đối diện của tứ giác ABCM bằng nhau và song song. Do đó, khẳng định này có thể sai. D. \( MA = BC \) - Điều kiện \( MA + MC = MB \) không đảm bảo rằng \( MA = BC \). Do đó, khẳng định này có thể sai. Từ các lập luận trên, chúng ta thấy rằng tất cả các khẳng định đều có thể sai. Tuy nhiên, trong ngữ cảnh của bài toán, chúng ta cần chọn khẳng định sai nhất. Nhìn vào điều kiện \( MA + MC = MB \), ta thấy rằng khẳng định C là sai nhất vì điều kiện này không đủ để chứng minh rằng tứ giác ABCM là hình bình hành. Vậy khẳng định sai là: C. Tứ giác ABCM là hình bình hành. Câu 11. Trước tiên, ta cần hiểu rằng O là trung điểm của đoạn thẳng AB, nghĩa là O chia AB thành hai đoạn thẳng bằng nhau. Do đó, ta có: - \( AO = OB \) - \( AB = AO + OB \) Vì O là trung điểm, nên \( AO = OB \). Ta có thể viết lại \( AB \) như sau: \[ AB = AO + OB = AO + AO = 2 \times AO \] Tương tự, ta cũng có: \[ AB = OB + AO = OB + OB = 2 \times OB \] Như vậy, các khẳng định đúng là: A. \( AB = 2 \times OA \) B. \( AB = 2 \times OB \) Các khẳng định sai là: C. \( AB = -2 \times OB \) (vì độ dài đoạn thẳng không thể âm) D. \( AO = 2 \times AB \) (vì \( AO \) chỉ bằng một nửa \( AB \)) Vậy đáp án đúng là: A. \( AB = 2 \times OA \) B. \( AB = 2 \times OB \) Câu 12. Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng điều kiện \( MA \cdot BC = 0 \) có nghĩa là hoặc \( MA = 0 \) hoặc \( BC = 0 \). Tuy nhiên, \( BC \) là độ dài cạnh của tam giác ABC và không thể bằng 0, vì vậy điều kiện duy nhất còn lại là \( MA = 0 \). Khi \( MA = 0 \), điểm M phải trùng với điểm A. Do đó, tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện \( MA \cdot BC = 0 \) chỉ bao gồm duy nhất điểm A. Vậy đáp án đúng là: A. Một điểm. Lập luận từng bước: 1. Điều kiện \( MA \cdot BC = 0 \) suy ra \( MA = 0 \) hoặc \( BC = 0 \). 2. Vì \( BC \) là độ dài cạnh của tam giác và không thể bằng 0, nên chỉ còn lại \( MA = 0 \). 3. \( MA = 0 \) suy ra điểm M phải trùng với điểm A. 4. Vậy tập hợp các điểm M chỉ bao gồm duy nhất điểm A. Đáp án: A. Một điểm. Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các thông tin từ đồ thị của hàm số $f(x) = ax^2 + bx + c$. Dưới đây là các bước chi tiết: 1. Xác định dấu của hệ số \(a\): - Từ đồ thị, ta thấy rằng parabol mở rộng lên trên, do đó hệ số \(a\) phải dương (\(a > 0\)). 2. Xác định tọa độ đỉnh của parabol: - Tọa độ đỉnh của parabol \(f(x) = ax^2 + bx + c\) là \(\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\). - Từ đồ thị, ta thấy đỉnh của parabol nằm ở điểm \((1, -2)\). Do đó, ta có: \[ -\frac{b}{2a} = 1 \quad \text{và} \quad f(1) = -2 \] 3. Tìm giá trị của \(b\): - Từ \(-\frac{b}{2a} = 1\), ta có: \[ b = -2a \] 4. Tìm giá trị của \(c\): - Thay \(x = 1\) vào phương trình \(f(x) = ax^2 + bx + c\) và sử dụng \(f(1) = -2\): \[ f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = -2 \] - Thay \(b = -2a\) vào phương trình trên: \[ a - 2a + c = -2 \implies -a + c = -2 \implies c = a - 2 \] 5. Xác định giá trị của \(a\): - Ta cần thêm thông tin từ đồ thị để xác định giá trị cụ thể của \(a\). Giả sử ta biết thêm một điểm khác trên đồ thị, ví dụ \(f(0) = 0\): \[ f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 0 \] - Từ \(c = a - 2\), ta có: \[ a - 2 = 0 \implies a = 2 \] 6. Tìm giá trị của \(b\) và \(c\): - Với \(a = 2\), ta có: \[ b = -2a = -2(2) = -4 \] \[ c = a - 2 = 2 - 2 = 0 \] 7. Viết phương trình của hàm số: - Vậy phương trình của hàm số là: \[ f(x) = 2x^2 - 4x \] Đáp số: \(f(x) = 2x^2 - 4x\)