Giải giúp tôi

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn là x và y (m, x > 0, y > 0). Theo đề bài, ta có: \[ 2(x + y) = 50 \quad \text{(1)} \] Sau khi làm lối đi xung quanh vườn rộng 1 m, chiều dài và chiều rộng mới sẽ là \(x - 2\) và \(y - 2\) (vì mỗi bên đều giảm đi 1 m). Diện tích đất còn lại trong vườn để trồng trọt là: \[ (x - 2)(y - 2) = 104 \quad \text{(2)} \] Từ phương trình (1), ta có: \[ x + y = 25 \quad \text{(3)} \] Thay \(y = 25 - x\) vào phương trình (2): \[ (x - 2)(25 - x - 2) = 104 \] \[ (x - 2)(23 - x) = 104 \] \[ 23x - x^2 - 46 + 2x = 104 \] \[ -x^2 + 25x - 46 = 104 \] \[ -x^2 + 25x - 150 = 0 \] \[ x^2 - 25x + 150 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ x = \frac{25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 600}}{2} \] \[ x = \frac{25 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{25 \pm 5}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{30}{2} = 15 \] \[ x_2 = \frac{20}{2} = 10 \] Với \(x = 15\), ta có \(y = 25 - 15 = 10\). Với \(x = 10\), ta có \(y = 25 - 10 = 15\). Vậy các kích thước của khu vườn là 15 m và 10 m. Đáp số: Chiều dài: 15 m, Chiều rộng: 10 m. Bài 3. 1. Để tính chiều cao của biển quảng cáo, ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. - Từ điểm P, ta nhìn thấy mái nhà dưới góc $31^\circ$ và biển quảng cáo dưới góc $42^\circ$. - Chiều cao của mái nhà từ điểm P là $7 \tan(31^\circ)$. - Chiều cao của biển quảng cáo từ điểm P là $7 \tan(42^\circ)$. Chiều cao của biển quảng cáo là: \[ 7 \tan(42^\circ) - 7 \tan(31^\circ) \] Ta tính: \[ \tan(42^\circ) \approx 0,9004 \] \[ \tan(31^\circ) \approx 0,6009 \] Do đó: \[ 7 \times 0,9004 - 7 \times 0,6009 = 6,3028 - 4,2063 = 2,0965 \] Làm tròn đến 1 chữ số thập phân: \[ 2,0965 \approx 2,1 \text{ m} \] Đáp số: Chiều cao của biển quảng cáo là 2,1 m. 2. Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm K bất kỳ; gọi D là hình chiếu của A trên BK. a) Chứng minh: Bốn điểm A, D, H, B cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó biết $AC = 10 \text{ cm}, \widehat{ABC} = 60^\circ$. - Ta có $\widehat{AHB} = 90^\circ$ (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh vuông của tam giác vuông). - Ta cũng có $\widehat{ADB} = 90^\circ$ (vì D là hình chiếu của A trên BK). Do đó, bốn điểm A, D, H, B cùng thuộc một đường tròn có đường kính AB. - Ta tính AB: \[ AB = AC \cdot \tan(60^\circ) = 10 \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3} \text{ cm} \] Bán kính của đường tròn là: \[ R = \frac{AB}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm} \] b) Chứng minh: $BD \cdot BK = BH \cdot BC$ và $HK \cdot \cos(\widehat{ABK}) = DC \cdot \sin(\widehat{ACB})$. - Ta có $\widehat{ABD} = \widehat{CBH}$ (góc đồng vị). - Do đó, $\Delta ABD \sim \Delta CBH$ (góc - góc). Từ đó ta có: \[ \frac{BD}{BH} = \frac{AB}{BC} \] Nhân cả hai vế với $BK \cdot BC$, ta được: \[ BD \cdot BK = BH \cdot BC \] - Ta có $\widehat{ABK} = \widehat{ACB}$ (góc đồng vị). - Do đó, $\cos(\widehat{ABK}) = \cos(\widehat{ACB})$. Ta cũng có: \[ HK = AD \cdot \cos(\widehat{ABK}) \] \[ DC = AD \cdot \sin(\widehat{ACB}) \] Nhân cả hai vế với $\cos(\widehat{ABK})$, ta được: \[ HK \cdot \cos(\widehat{ABK}) = DC \cdot \sin(\widehat{ACB}) \] Đáp số: a) Bán kính của đường tròn là $5\sqrt{3} \text{ cm}$. b) Đã chứng minh $BD \cdot BK = BH \cdot BC$ và $HK \cdot \cos(\widehat{ABK}) = DC \cdot \sin(\widehat{ACB})$.