giúp với ạ

Câu 4. a) A'D'CB là hình bình hành. - Đúng vì A'D' // BC và A'D' = BC (do tính chất của hình hộp). b) $(A'BD) // (B'D'C)$. - Đúng vì A'D' // BC, BD // B'D', và AC // A'C' (do tính chất của hình hộp). c) $G_1, G_2$ cùng thuộc AC'. - Đúng vì $G_1$ là trọng tâm của tam giác A'BD và $G_2$ là trọng tâm của tam giác B'D'C. Trong hình hộp, đường thẳng nối hai trọng tâm của hai tam giác có cạnh chung với đáy sẽ đi qua trung điểm của đường chéo của đáy, do đó $G_1$ và $G_2$ đều nằm trên đường thẳng AC'. d) $G_1G_2 = \frac{2}{3}AC'$. - Đúng vì trong tam giác A'BD và B'D'C, trọng tâm chia đường cao thành tỉ số 2:1. Do đó, đoạn thẳng nối hai trọng tâm sẽ bằng $\frac{2}{3}$ đường chéo của đáy, tức là $G_1G_2 = \frac{2}{3}AC'$. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng. Câu 1. Để tìm $u_0$ của cấp số cộng $(u_n)$, ta cần biết công sai $d$ và số hạng đầu tiên $u_0$. Ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định công sai $d$ của cấp số cộng. - Ta biết rằng $u_n = u_0 + n \cdot d$. - Ta cũng biết rằng $u_{14} = u_0 + 14 \cdot d$. Bước 2: Thay các giá trị đã biết vào công thức. - Ta có $u_{14} = 18$ và $u_n = -12$. - Ta thay vào công thức $u_{14} = u_0 + 14 \cdot d$: \[ 18 = u_0 + 14 \cdot d \] - Ta cũng thay vào công thức $u_n = u_0 + n \cdot d$: \[ -12 = u_0 + n \cdot d \] Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm $u_0$ và $d$. - Ta có hai phương trình: \[ 18 = u_0 + 14 \cdot d \] \[ -12 = u_0 + n \cdot d \] Bước 4: Tính $d$ từ hai phương trình trên. - Ta trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ 18 - (-12) = (u_0 + 14 \cdot d) - (u_0 + n \cdot d) \] \[ 30 = 14 \cdot d - n \cdot d \] \[ 30 = (14 - n) \cdot d \] - Ta biết rằng $n = 1$, vì $u_n = -12$ là số hạng thứ 1 của cấp số cộng. \[ 30 = (14 - 1) \cdot d \] \[ 30 = 13 \cdot d \] \[ d = \frac{30}{13} \] Bước 5: Thay $d$ vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm $u_0$. - Ta thay $d = \frac{30}{13}$ vào phương trình $18 = u_0 + 14 \cdot d$: \[ 18 = u_0 + 14 \cdot \frac{30}{13} \] \[ 18 = u_0 + \frac{420}{13} \] \[ 18 = u_0 + 32.3077 \] \[ u_0 = 18 - 32.3077 \] \[ u_0 = -14.3077 \] Vậy $u_0 = -14.3077$. Câu 2. Để giải bài toán này, ta sẽ áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều. Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên (\(a_1\)) và khoảng cách giữa các số hạng (\(d\)). - Số ghế ở hàng đầu tiên (\(a_1\)) là 35. - Khoảng cách giữa các số hạng (\(d\)) là 2 (vì mỗi hàng sau nhiều hơn 2 ghế so với hàng trước). Bước 2: Xác định số hàng ghế (n). - Số hàng ghế là 27. Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều. Công thức tổng của dãy số cách đều là: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (2a_1 + (n - 1)d) \] Thay các giá trị vào công thức: \[ S_{27} = \frac{27}{2} \times (2 \times 35 + (27 - 1) \times 2) \] \[ S_{27} = \frac{27}{2} \times (70 + 26 \times 2) \] \[ S_{27} = \frac{27}{2} \times (70 + 52) \] \[ S_{27} = \frac{27}{2} \times 122 \] \[ S_{27} = 27 \times 61 \] \[ S_{27} = 1647 \] Vậy, hội trường đó có tất cả 1647 ghế. Câu 3. Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{5^{n+1} - 4^n + 1}{2 \cdot 5^n - 6^n} \right)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $6^n$ để dễ dàng nhận thấy các giới hạn của các phần tử trong biểu thức. \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5^{n+1} - 4^n + 1}{2 \cdot 5^n - 6^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\frac{5^{n+1}}{6^n} - \frac{4^n}{6^n} + \frac{1}{6^n}}{\frac{2 \cdot 5^n}{6^n} - \frac{6^n}{6^n}} \right) \] Bước 2: Tính các giới hạn của từng phần tử trong biểu thức. \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^n - \left( \frac{4}{6} \right)^n + \frac{1}{6^n}}{2 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^n - 1} \right) \] Bước 3: Nhận xét rằng $\left( \frac{5}{6} \right)^n$, $\left( \frac{4}{6} \right)^n$, và $\frac{1}{6^n}$ đều tiến đến 0 khi $n$ tiến đến vô cùng vì các cơ số đều nhỏ hơn 1. \[ = \frac{5 \cdot 0 - 0 + 0}{2 \cdot 0 - 1} = \frac{0}{-1} = 0 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5^{n+1} - 4^n + 1}{2 \cdot 5^n - 6^n} \right) = 0 \] Câu 4. Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{x^2+16}-4}$, ta sẽ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức. Bước 1: Nhân lượng liên hợp ở cả tử số và mẫu số: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{x^2+16}-4} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(\sqrt{1+x^2}-1)(\sqrt{1+x^2}+1)(\sqrt{x^2+16}+4)}{(\sqrt{x^2+16}-4)(\sqrt{x^2+16}+4)(\sqrt{1+x^2}+1)} \] Bước 2: Đơn giản hóa biểu thức: \[ = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+x^2-1)(\sqrt{x^2+16}+4)}{(x^2+16-16)(\sqrt{1+x^2}+1)} \] \[ = \lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2(\sqrt{x^2+16}+4)}{x^2(\sqrt{1+x^2}+1)} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức: \[ = \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x^2+16}+4}{\sqrt{1+x^2}+1} \] Bước 4: Thay \( x = 0 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ = \frac{\sqrt{0^2+16}+4}{\sqrt{1+0^2}+1} = \frac{\sqrt{16}+4}{\sqrt{1}+1} = \frac{4+4}{1+1} = \frac{8}{2} = 4 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{x^2+16}-4} = 4 \]