giúp mình với

Câu 8: Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm I, J, K: - I là trọng tâm của tam giác ABC, do đó I nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến cạnh BC. - J là trọng tâm của tam giác ACC', do đó J nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến cạnh CC'. - K là trọng tâm của tam giác AB'C', do đó K nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A' đến cạnh BC'. Ta cần tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (IJK). Xét các lựa chọn: A. (BC'A) B. (AA'B) C. (BB'C) D. (CC'A) Ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng này xem có song song với (IJK) hay không. 1. Mặt phẳng (BC'A): - Điểm B nằm trên cạnh BC của tam giác ABC. - Điểm C' nằm trên cạnh CC' của tam giác ACC'. - Điểm A nằm trên cạnh AA' của tam giác AB'C'. Do đó, mặt phẳng (BC'A) không song song với (IJK) vì nó chứa các điểm thuộc các cạnh khác nhau của các tam giác. 2. Mặt phẳng (AA'B): - Điểm A nằm trên cạnh AA' của tam giác AB'C'. - Điểm A' nằm trên cạnh AA' của tam giác AB'C'. - Điểm B nằm trên cạnh AB của tam giác ABC. Do đó, mặt phẳng (AA'B) không song song với (IJK) vì nó chứa các điểm thuộc các cạnh khác nhau của các tam giác. 3. Mặt phẳng (BB'C): - Điểm B nằm trên cạnh BB' của tam giác BB'C. - Điểm B' nằm trên cạnh BB' của tam giác BB'C. - Điểm C nằm trên cạnh BC của tam giác ABC. Do đó, mặt phẳng (BB'C) không song song với (IJK) vì nó chứa các điểm thuộc các cạnh khác nhau của các tam giác. 4. Mặt phẳng (CC'A): - Điểm C nằm trên cạnh CC' của tam giác ACC'. - Điểm C' nằm trên cạnh CC' của tam giác ACC'. - Điểm A nằm trên cạnh AA' của tam giác AB'C'. Do đó, mặt phẳng (CC'A) song song với (IJK) vì nó chứa các điểm thuộc các cạnh của tam giác ACC' và AB'C', và cả hai tam giác này đều có chung cạnh CC' và AA'. Vậy mặt phẳng song song với (IJK) là (CC'A). Đáp án đúng là: D. (CC'A). Câu 9: Trước tiên, ta cần hiểu rằng hình chiếu song song của một điểm theo một phương lên một mặt phẳng là điểm nằm trên đường thẳng song song với phương đó và nằm trong mặt phẳng đó. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm của SC. Ta cần tìm hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD). 1. Xác định phương AB: - Phương AB là đường thẳng đi qua hai điểm A và B. 2. Tìm đường thẳng song song với AB trong mặt phẳng (SAD): - Mặt phẳng (SAD) bao gồm các điểm S, A và D. - Đường thẳng song song với AB trong mặt phẳng (SAD) sẽ là đường thẳng đi qua điểm A và song song với AB. 3. Xác định hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD): - Điểm M nằm trên đường thẳng SC. - Để tìm hình chiếu song song của M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD), ta cần tìm điểm trên đường thẳng song song với AB trong mặt phẳng (SAD) và nằm trên đường thẳng đi qua M và song song với AB. Do M là trung điểm của SC, ta có thể suy ra rằng hình chiếu song song của M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) sẽ là trung điểm của SD. Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là trung điểm của SD. Đáp án đúng là: B. Trung điểm của SD. Câu 10: Để tính giới hạn của biểu thức \( I = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 2024}{3n + 2025} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho \( n \): \[ I = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2n + 2024}{n}}{\frac{3n + 2025}{n}} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức: \[ I = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 + \frac{2024}{n}}{3 + \frac{2025}{n}} \] Bước 3: Tính giới hạn của các phân số trong biểu thức: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{2024}{n} = 0 \] \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{2025}{n} = 0 \] Bước 4: Thay các giới hạn này vào biểu thức: \[ I = \frac{2 + 0}{3 + 0} = \frac{2}{3} \] Vậy, giới hạn của biểu thức \( I \) là: \[ I = \frac{2}{3} \] Đáp án đúng là: A. \( I = \frac{2}{3} \). Câu 11: Để tìm giới hạn của dãy số \( u_n = \frac{2 + 2^2 + ... + 2^n}{2^n} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tổng của dãy số ở tử số. Tổng của dãy số \( 2 + 2^2 + ... + 2^n \) là một dãy số lũy thừa với công bội \( q = 2 \). Công thức tính tổng của dãy số lũy thừa là: \[ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Trong đó, \( a = 2 \) và \( q = 2 \): \[ 2 + 2^2 + ... + 2^n = 2 \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2(2^n - 1) \] Bước 2: Thay tổng này vào biểu thức của \( u_n \): \[ u_n = \frac{2(2^n - 1)}{2^n} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức: \[ u_n = \frac{2 \cdot 2^n - 2}{2^n} = \frac{2^{n+1} - 2}{2^n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} - \frac{2}{2^n} = 2 - \frac{2}{2^n} \] Bước 4: Tìm giới hạn của \( u_n \) khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \left( 2 - \frac{2}{2^n} \right) \] Khi \( n \to \infty \), \( \frac{2}{2^n} \to 0 \), do đó: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = 2 - 0 = 2 \] Vậy giới hạn của dãy số \( (u_n) \) là 2. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 12: Để hàm số \( y = \begin{cases} x^2 + 3x + 2 & \text{khi } x \leq -1 \\ 4x + a & \text{khi } x > -1 \end{cases} \) liên tục tại điểm \( x = -1 \), ta cần đảm bảo rằng giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \(-1\) từ cả hai phía phải bằng giá trị của hàm số tại điểm đó. Bước 1: Tính giá trị của hàm số khi \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Bước 2: Tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \(-1\) từ bên trái: \[ \lim_{x \to -1^-} y = \lim_{x \to -1^-} (x^2 + 3x + 2) = (-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Bước 3: Tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \(-1\) từ bên phải: \[ \lim_{x \to -1^+} y = \lim_{x \to -1^+} (4x + a) = 4(-1) + a = -4 + a \] Bước 4: Để hàm số liên tục tại điểm \( x = -1 \), ta cần: \[ \lim_{x \to -1^-} y = \lim_{x \to -1^+} y = y(-1) \] \[ 0 = -4 + a \] Bước 5: Giải phương trình để tìm giá trị của \( a \): \[ a = 4 \] Vậy giá trị của \( a \) là 4. Đáp án đúng là: B. 4. Câu 1. Phương trình lượng giác $\sin 2x = -\frac{1}{2}$ có thể được giải như sau: 1. Tìm các giá trị của $2x$: Ta biết rằng $\sin 2x = -\frac{1}{2}$, do đó: \[ 2x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{11\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 2. Tìm các giá trị của $x$: Chia cả hai vế cho 2 ta được: \[ x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{11\pi}{12} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 3. Xác định các nghiệm trong khoảng $(0; \pi)$: - Với $x = \frac{7\pi}{12} + k\pi$: - Khi $k = 0$, ta có $x = \frac{7\pi}{12}$. - Khi $k = 1$, ta có $x = \frac{7\pi}{12} + \pi = \frac{19\pi}{12}$ (không thuộc khoảng $(0; \pi)$). - Với $x = \frac{11\pi}{12} + k\pi$: - Khi $k = 0$, ta có $x = \frac{11\pi}{12}$. - Khi $k = 1$, ta có $x = \frac{11\pi}{12} + \pi = \frac{23\pi}{12}$ (không thuộc khoảng $(0; \pi)$). Do đó, trong khoảng $(0; \pi)$, phương trình có hai nghiệm là $x = \frac{7\pi}{12}$ và $x = \frac{11\pi}{12}$. 4. Kiểm tra các lựa chọn: - a) Phương trình () tương đương với $\sin 2x = \sin \frac{\pi}{6}$: Sai vì $\sin 2x = -\frac{1}{2}$ không tương đương với $\sin 2x = \sin \frac{\pi}{6}$. - b) Trong khoảng $(0; \pi)$ phương trình có 3 nghiệm: Sai vì phương trình chỉ có 2 nghiệm trong khoảng $(0; \pi)$. - c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0; \pi)$ bằng $\frac{3\pi}{2}$: Đúng vì tổng các nghiệm là $\frac{7\pi}{12} + \frac{11\pi}{12} = \frac{18\pi}{12} = \frac{3\pi}{2}$. - d) Trong khoảng $(0; \pi)$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{11\pi}{12}$: Đúng vì nghiệm lớn nhất trong khoảng $(0; \pi)$ là $\frac{11\pi}{12}$. Vậy đáp án đúng là: - c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0; \pi)$ bằng $\frac{3\pi}{2}$. - d) Trong khoảng $(0; \pi)$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{11\pi}{12}$. Câu 2: a) Số tiền ở mỗi tuần theo thứ tự lập thành một cấp số cộng $(u_n).$ - Tuần đầu tiên, Hùng để dành 42 đô la, tức là $u_1 = 42$. - Mỗi tuần sau đó, Hùng thêm 8 đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình, nên công sai của cấp số cộng là $d = 8$. Do đó, số tiền Hùng để dành trong tuần thứ $n$ là: \[ u_n = 42 + (n - 1) \times 8 \] b) Công sai của cấp số cộng $(u_n)$ là $d = 8$. c) Số tiền Hùng để dành trong tuần thứ hai là: \[ u_2 = 42 + (2 - 1) \times 8 = 42 + 8 = 50 \] d) Để tìm tuần thứ n mà Hùng đủ tiền mua cây đàn guitar có giá 400 đô la, ta cần giải phương trình: \[ u_n = 400 \] \[ 42 + (n - 1) \times 8 = 400 \] \[ (n - 1) \times 8 = 400 - 42 \] \[ (n - 1) \times 8 = 358 \] \[ n - 1 = \frac{358}{8} \] \[ n - 1 = 44.75 \] \[ n = 44.75 + 1 \] \[ n = 45.75 \] Vì n phải là số nguyên, nên Hùng sẽ đủ tiền mua cây đàn guitar vào tuần thứ 46. Đáp số: a) Số tiền ở mỗi tuần theo thứ tự lập thành một cấp số cộng $(u_n)$. b) Công sai của cấp số cộng $(u_n)$ là $d = 8$. c) $u_2 = 50$. d) Đến tuần thứ 46, Hùng mới đủ tiền mua được cây đàn guitar đó.