Tìm x biết 2+7+12+17+...+x=297 với các số hạng 2,7,12,17,...,x lập thành một cấp số cộng

Question

Accepted Answer

Để tìm $ x $ trong dãy số $ 2 + 7 + 12 + 17 + ... + x = 297 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định công thức tổng của dãy số:
   Dãy số đã cho là một cấp số cộng với số hạng đầu tiên $ a_1 = 2 $ và công sai $ d = 5 $.

2. Tìm số hạng thứ n:
   Số hạng thứ $ n $ của dãy số được tính theo công thức:
   $$
   a_n = a_1 + (n-1)d
   $$
   Thay $ a_1 = 2 $ và $ d = 5 $:
   $$
   a_n = 2 + (n-1) \cdot 5 = 2 + 5n - 5 = 5n - 3
   $$

3. Tính tổng của dãy số:
   Tổng của $ n $ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng được tính theo công thức:
   $$
   S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right)
   $$
   Thay $ a_1 = 2 $ và $ a_n = 5n - 3 $:
   $$
   S_n = \frac{n}{2} \left( 2 + 5n - 3 \right) = \frac{n}{2} \left( 5n - 1 \right)
   $$

4. Bình phương và giải phương trình:
   Ta biết rằng tổng của dãy số bằng 297:
   $$
   \frac{n}{2} \left( 5n - 1 \right) = 297
   $$
   Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số:
   $$
   n \left( 5n - 1 \right) = 594
   $$
   Đặt phương trình bậc hai:
   $$
   5n^2 - n - 594 = 0
   $$

5. Giải phương trình bậc hai:
   Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0 $:
   $$
   n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Với $ a = 5 $, $ b = -1 $, và $ c = -594 $:
   $$
   n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-594)}}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 11880}}{10} = \frac{1 \pm \sqrt{11881}}{10}
   $$
   $$
   n = \frac{1 \pm 109}{10}
   $$
   Ta có hai nghiệm:
   $$
   n = \frac{1 + 109}{10} = 11 \quad \text{và} \quad n = \frac{1 - 109}{10} = -10.8
   $$
   Vì $ n $ phải là số tự nhiên, nên ta chọn $ n = 11 $.

6. Tìm giá trị của x:
   Thay $ n = 11 $ vào công thức số hạng thứ $ n $:
   $$
   x = a_{11} = 5 \cdot 11 - 3 = 55 - 3 = 52
   $$

Vậy giá trị của $ x $ là $ 52 $.