Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b sao cho a^2-1 chia hết cho ab+1

Để tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(a\) và \(b\) sao cho \(a^2 - 1\) chia hết cho \(ab + 1\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xét điều kiện chia hết: Ta có \(a^2 - 1\) chia hết cho \(ab + 1\). Điều này có nghĩa là tồn tại số nguyên \(k\) sao cho: \[ a^2 - 1 = k(ab + 1) \] 2. Rearrange the equation: Ta viết lại phương trình trên dưới dạng: \[ a^2 - kab - k - 1 = 0 \] Đây là một phương trình bậc hai theo \(a\): \[ a^2 - kab - (k + 1) = 0 \] 3. Phân tích phương trình: Để phương trình này có nghiệm nguyên, ta cần kiểm tra các trường hợp cụ thể của \(k\). 4. Kiểm tra các giá trị \(k\) nhỏ: - Trường hợp \(k = 0\): \[ a^2 - 1 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = 1 \] Thay \(a = 1\) vào \(ab + 1\): \[ 1 \cdot b + 1 = b + 1 \] Điều này luôn chia hết cho 1, do đó \(b\) có thể là bất kỳ số nguyên dương nào. Vậy ta có vô số cặp \((1, b)\). - Trường hợp \(k = 1\): \[ a^2 - a - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ a = 2 \quad \text{hoặc} \quad a = -1 \] Vì \(a\) là số nguyên dương, ta chỉ lấy \(a = 2\). Thay \(a = 2\) vào \(ab + 1\): \[ 2b + 1 \] Ta cần \(2b + 1\) chia hết cho 3. Điều này xảy ra khi \(b = 1\). Vậy ta có cặp \((2, 1)\). - Trường hợp \(k = 2\): \[ a^2 - 2ab - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ a = \frac{2b \pm \sqrt{4b^2 + 12}}{2} = b \pm \sqrt{b^2 + 3} \] Để \(a\) là số nguyên, \(b^2 + 3\) phải là số chính phương. Kiểm tra các giá trị \(b\): - \(b = 1\): \(1^2 + 3 = 4\) (chính phương), ta có \(a = 1 + 2 = 3\) hoặc \(a = 1 - 2 = -1\) (loại). - \(b = 2\): \(2^2 + 3 = 7\) (không phải chính phương). - \(b = 3\): \(3^2 + 3 = 12\) (không phải chính phương). - \(b = 4\): \(4^2 + 3 = 19\) (không phải chính phương). - \(b = 5\): \(5^2 + 3 = 28\) (không phải chính phương). - \(b = 6\): \(6^2 + 3 = 39\) (không phải chính phương). - \(b = 7\): \(7^2 + 3 = 52\) (không phải chính phương). - \(b = 8\): \(8^2 + 3 = 67\) (không phải chính phương). - \(b = 9\): \(9^2 + 3 = 84\) (không phải chính phương). - \(b = 10\): \(10^2 + 3 = 103\) (không phải chính phương). Do đó, chỉ có cặp \((3, 1)\). 5. Kết luận: Các cặp số nguyên dương \((a, b)\) thỏa mãn điều kiện là: \[ (1, b) \quad \text{(với \(b\) là bất kỳ số nguyên dương nào)} \] \[ (2, 1) \] \[ (3, 1) \] Vậy các cặp số nguyên dương \((a, b)\) là: \[ (1, b), (2, 1), (3, 1) \]