tìm x để P=cănx +1/cănx-1 có giá trị nguyên

Để tìm giá trị của \( x \) sao cho biểu thức \( P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \) có giá trị nguyên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): - \( \sqrt{x} \) phải có nghĩa, tức là \( x \geq 0 \). - \( \sqrt{x} - 1 \neq 0 \), tức là \( x \neq 1 \). Vậy điều kiện xác định là: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \). 2. Biến đổi biểu thức: Ta đặt \( t = \sqrt{x} \). Khi đó biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = \frac{t + 1}{t - 1} \] 3. Tìm giá trị nguyên của \( P \): Để \( P \) là số nguyên, phân số \( \frac{t + 1}{t - 1} \) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( t + 1 \) phải chia hết cho \( t - 1 \). Ta xét các trường hợp: - \( t + 1 = k(t - 1) \) với \( k \) là số nguyên. - \( t + 1 = kt - k \) - \( t + 1 + k = kt \) - \( t(1 - k) = -k - 1 \) - \( t = \frac{k + 1}{k - 1} \) Để \( t \) là số nguyên, \( \frac{k + 1}{k - 1} \) phải là số nguyên. Ta xét các giá trị của \( k \): - \( k = 2 \): \( t = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3 \) - \( k = 0 \): \( t = \frac{0 + 1}{0 - 1} = -1 \) (loại vì \( t \geq 0 \)) - \( k = -1 \): \( t = \frac{-1 + 1}{-1 - 1} = 0 \) - \( k = 1 \): \( t = \frac{1 + 1}{1 - 1} \) (không xác định) Vậy các giá trị của \( t \) là \( t = 3 \) và \( t = 0 \). 4. Quay lại biến \( x \): - Nếu \( t = 3 \), thì \( \sqrt{x} = 3 \) suy ra \( x = 9 \). - Nếu \( t = 0 \), thì \( \sqrt{x} = 0 \) suy ra \( x = 0 \). Vậy các giá trị của \( x \) để \( P \) có giá trị nguyên là \( x = 0 \) hoặc \( x = 9 \). Đáp số: \( x = 0 \) hoặc \( x = 9 \).