Hãy trả lời các câu hỏi sau

Câu 13. a) Đúng vì SO là đường thẳng chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). b) Đúng vì J là giao điểm của SA và (CKB). Vì K là trung điểm của SD nên K nằm trên đường thẳng đi qua O và song song với DC. Do đó, J cũng thuộc đường thẳng này. c) Sai vì giao tuyến của (OIA) và (SCD) không phải là đường thẳng đi qua C và song song với SD. Thực tế, giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua O và song song với SD. d) Đúng vì I là trung điểm của SB và K là trung điểm của SD, do đó IK song song với BD. Vì ABCD là hình bình hành nên BD song song với AC. Từ đó suy ra IK song song với AC. Mặt khác, J là giao điểm của SA và (CKB), do đó J thuộc đường thẳng đi qua K và song song với DC. Vì vậy, CD // IJ. Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 14. Trước tiên, ta sẽ xem xét từng mệnh đề một để xác định xem chúng đúng hay sai. a) \( MN // (SBC) \) - Vì \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), ta có \( MN \) song song với \( AD \) (vì \( ABCD \) là hình bình hành). - Mặt phẳng \( (SBC) \) bao gồm các điểm \( S \), \( B \), và \( C \). - \( MN \) không nằm trong mặt phẳng \( (SBC) \) vì \( MN \) song song với \( AD \) và \( AD \) không nằm trong mặt phằng \( (SBC) \). Do đó, \( MN \) không song song với mặt phẳng \( (SBC) \). Mệnh đề này là sai. b) \( MN // (SAD) \) - \( MN \) song song với \( AD \) (như đã chứng minh ở trên). - Mặt phẳng \( (SAD) \) bao gồm các điểm \( S \), \( A \), và \( D \). - \( MN \) nằm trong mặt phẳng \( (SAD) \) vì \( MN \) song song với \( AD \) và \( AD \) nằm trong mặt phẳng \( (SAD) \). Do đó, \( MN \) nằm trong mặt phẳng \( (SAD) \). Mệnh đề này là đúng. c) \( SB \) cắt với mặt phẳng \( (MNP) \) - \( SB \) là đường thẳng đi qua \( S \) và \( B \). - \( MNP \) là mặt phẳng bao gồm các điểm \( M \), \( N \), và \( P \). - \( SB \) không nằm trong mặt phẳng \( (MNP) \) vì \( SB \) đi qua \( S \) và \( B \), trong khi \( M \), \( N \), và \( P \) không liên quan trực tiếp đến \( SB \). Do đó, \( SB \) có thể cắt với mặt phẳng \( (MNP) \). Mệnh đề này là đúng. d) \( SC \) cắt với mặt phẳng \( (MNP) \) - \( SC \) là đường thẳng đi qua \( S \) và \( C \). - \( MNP \) là mặt phẳng bao gồm các điểm \( M \), \( N \), và \( P \). - \( SC \) không nằm trong mặt phẳng \( (MNP) \) vì \( SC \) đi qua \( S \) và \( C \), trong khi \( M \), \( N \), và \( P \) không liên quan trực tiếp đến \( SC \). Do đó, \( SC \) có thể cắt với mặt phẳng \( (MNP) \). Mệnh đề này là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 15. Trước tiên, ta sẽ xem xét từng mệnh đề một để xác định xem chúng đúng hay sai. a) \( MN // BD \) - Vì M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD, nên theo định lý trung tuyến trong tam giác, ta có \( MN // BD \). Do đó, mệnh đề này là Đúng. b) MN và AC là hai đường thẳng chéo nhau - Trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi, do đó AC và BD là hai đường chéo của hình thoi và chúng cắt nhau tại tâm O của hình thoi. - Ta đã biết \( MN // BD \), do đó MN nằm trong mặt phẳng (SBD) và không thể cắt AC vì AC nằm trong mặt phẳng (ABCD) và không giao với MN. - Do đó, MN và AC là hai đường thẳng chéo nhau. Mệnh đề này là Đúng. c) \( AC \bot BD \) - Trong hình thoi, hai đường chéo luôn vuông góc với nhau. Do đó, \( AC \bot BD \). Mệnh đề này là Đúng. d) \( (MN, AC) = 90^\circ \) - Vì \( MN // BD \) và \( AC \bot BD \), suy ra \( AC \bot MN \). - Do đó, góc giữa MN và AC là 90°. Mệnh đề này là Đúng. Tóm lại: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 16. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho về hình chóp S.ABCD. Mệnh đề a: $(SB, DC) = \widehat{SBA}$ - Ta biết rằng $SA \perp AB$ và $SA \perp AD$. Do đó, $SA$ là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. - Vì $ABCD$ là hình thang vuông tại A và D, nên $AB \parallel DC$. - Xét góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $DC$, ta thấy rằng $DC$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và $SB$ cắt qua mặt phẳng này tại B. - Góc giữa $SB$ và $DC$ sẽ là góc giữa $SB$ và hình chiếu của $DC$ lên mặt phẳng $(SAB)$. Hình chiếu của $DC$ lên $(SAB)$ là $AB$ (vì $AB \parallel DC$). - Vậy góc giữa $SB$ và $DC$ chính là góc $\widehat{SBA}$. Do đó, mệnh đề a là Đúng. Mệnh đề b: $\tan \widehat{SBA} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - Ta biết rằng $SA = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$ và $AB = 2a$. - Trong tam giác vuông $SAB$, ta có: \[ \tan \widehat{SBA} = \frac{SA}{AB} = \frac{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Do đó, mệnh đề b là Sai. Mệnh đề c: $DE \parallel BC$ - Ta biết rằng $E$ là trung điểm của $AB$, tức là $AE = EB = a$. - Vì $ABCD$ là hình thang vuông tại A và D, nên $AB \parallel DC$. - Ta xét đoạn thẳng $DE$ và $BC$. Ta thấy rằng $DE$ không song song với $BC$ vì $DE$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và không song song với $BC$. Do đó, mệnh đề c là Sai. Mệnh đề d: $(SD, BC) \approx 52,42^\circ$ - Ta xét góc giữa $SD$ và $BC$. Ta cần tìm góc giữa $SD$ và hình chiếu của $BC$ lên mặt phẳng $(SAD)$. - Hình chiếu của $BC$ lên $(SAD)$ là $AD$ (vì $AD \parallel BC$). - Ta cần tính góc giữa $SD$ và $AD$. Ta có: \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{\left(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{3} + a^2} = \sqrt{\frac{7a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{21}}{3} \] - Góc giữa $SD$ và $AD$ là góc $\widehat{SDA}$. Ta có: \[ \cos \widehat{SDA} = \frac{AD}{SD} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{21}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{7} \] - Từ đó suy ra: \[ \widehat{SDA} \approx 52,42^\circ \] Do đó, mệnh đề d là Đúng. Kết luận: - Mệnh đề a: Đúng - Mệnh đề b: Sai - Mệnh đề c: Sai - Mệnh đề d: Đúng