Cho tam giác nhọn ABC ,hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng a,Bốn điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn b,AH>DE

a) Ta thấy trong tam giác ABC, BD và CE là hai đường cao hạ từ đỉnh B và C xuống cạnh AC và AB lần lượt. Điểm H là trực tâm của tam giác ABC, nghĩa là điểm giao của hai đường cao BD và CE. Ta cần chứng minh rằng bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn. - Xét tam giác ABD, ta có góc ADB = 90° (vì BD là đường cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC). - Xét tam giác AEC, ta có góc AEC = 90° (vì CE là đường cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB). Do đó, các góc ADB và AEC đều là góc vuông. Theo tính chất của tứ giác nội tiếp, nếu một tứ giác có hai góc đối bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. Trong trường hợp này, góc ADB + góc AEC = 90° + 90° = 180°, nên tứ giác AEDH nội tiếp đường tròn. b) Để chứng minh AH > DE, ta xét các đoạn thẳng liên quan trong tam giác ABC. - Ta biết rằng trong tam giác ABC, đường cao BD và CE cắt nhau tại H, tạo thành các tam giác nhỏ hơn như AHD, AHE, BHD, CHE. - Trong tam giác AHD, ta có AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh HD. - Trong tam giác AHE, ta có AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh HE. Theo tính chất của tam giác, đường cao hạ từ đỉnh của tam giác đến đáy luôn lớn hơn hoặc bằng nửa độ dài đáy. Do đó, AH sẽ lớn hơn DE vì AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy HD hoặc HE, trong khi DE là đoạn thẳng nằm giữa hai đường cao BD và CE. Vậy ta đã chứng minh được rằng bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn và AH > DE.