A=2000$x^2$ + $\frac{500000}{x}$ Dùng bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2000x^2 + \frac{500000}{x} \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số \( 2000x^2 \) và \( \frac{500000}{x} \): \[ 2000x^2 + \frac{500000}{x} \geq 2 \sqrt{2000x^2 \cdot \frac{500000}{x}} \] Bước 2: Tính căn bậc hai của tích hai số: \[ 2000x^2 \cdot \frac{500000}{x} = 2000x^2 \cdot \frac{500000}{x} = 2000 \cdot 500000 \cdot x = 1000000000x \] \[ \sqrt{1000000000x} = 100000 \sqrt{x} \] Bước 3: Thay vào bất đẳng thức Cauchy: \[ 2000x^2 + \frac{500000}{x} \geq 2 \cdot 100000 \sqrt{x} = 200000 \sqrt{x} \] Bước 4: Để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( 2000x^2 = \frac{500000}{x} \): \[ 2000x^2 = \frac{500000}{x} \] \[ 2000x^3 = 500000 \] \[ x^3 = \frac{500000}{2000} = 250 \] \[ x = \sqrt[3]{250} \approx 6.3 \] Bước 5: Thay \( x = \sqrt[3]{250} \) vào biểu thức ban đầu để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ A = 2000 (\sqrt[3]{250})^2 + \frac{500000}{\sqrt[3]{250}} \] \[ A = 2000 \cdot 250^{2/3} + \frac{500000}{250^{1/3}} \] \[ A = 2000 \cdot 250^{2/3} + 2000 \cdot 250^{2/3} \] \[ A = 4000 \cdot 250^{2/3} \] \[ A = 4000 \cdot 250^{2/3} \approx 4000 \cdot 15.87 \approx 63480 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là khoảng 63480, đạt được khi \( x = \sqrt[3]{250} \approx 6.3 \).