A=2000$$ + $$ Dùng bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất

Trần Vũ Lâm

Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a và b, ta có:

(a + b)/2 ≥ √(ab)

Áp dụng vào bài toán: Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta cần đưa biểu thức A về dạng tổng của hai số không âm. Ta có thể làm như sau:

Chia cả tử và mẫu của số hạng thứ hai cho 2000, ta được: A = 2000x^2 + 250/x
Để áp dụng Cauchy, ta cần có tích của hai số trong căn. Ta nhân và chia cho 2: A = 2000x^2 + 2 * √(2000x^2 * 250/x) / 2
 A = 2000x^2 + √(1000000)
 A = 2000x^2 + 1000

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Với a = 2000x^2 và b = 1000, ta có:

(2000x^2 + 1000)/2 ≥ √(2000x^2 * 1000)
A ≥ 2 * √(2000000x^2)
A ≥ 2000x

Dấu "=" xảy ra khi:

2000x^2 = 1000
x^2 = 1/2
x = ±√(1/2)

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là 2000x khi x = ±√(1/2).

Đáp số:

Giá trị nhỏ nhất của A là 2000√(1/2) khi x = ±√(1/2).